В этой главе рассматриваются асимптотические методы, использующие осреднение правых частей дифференциальных уравнений по некоторым из переменных. Эти методы часто называют методами осреднения или методами разделения движений. Они играют большую роль при изучении уравнений вида
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=\varepsilon X(x, y, \varepsilon) \\
\dot{y}=Y_{0}(x, y)+\varepsilon Y(x, y, \varepsilon),
\end{array}\right\}
\]

где $x$ и $y$ – некоторые векторы, а $\varepsilon$ – малый параметр. Подобные уравнения часто встречаются в различных задачах физики и механики. В частности, они типичны для широкого класса задач теории колебаний. Их особенность состоит в том, что часть переменных (компоненты вектора $x$ ) меняется медленно, а другая часть переменных (компоненты вектора $y$ ) – быстро. Эти переменные мы будем называть соответственно медленными и быстрыми.

Теория, которая изучается в этой главе, имеет своим истоком работы голландского инженера Ван-дер-Поля, который разработал довольно эффективный способ решения нелинейных задач теории колебаний систем с одной степенью свободы.

Как мы увидим ниже, он, во-первых, предложил простую схему редукции задачи теории колебаний к исследованию одного частного случая уравнения (*) и, во-вторых, систему (*) заменил упроценной системой, полученной из (*) усреднением правых частей по «быстрому» переменному. Для формального применения метода Ван-дер-Поля не требовалось, в отличие от методов предыдущего параграфа, никаких ограничительных предположении о природе сил, под действием которых происходит колебательный процесс. В равной степени он мог быть использован и для исследования установившихся движений и для исследования переходных процессов.

Метод Ван-дер-Поля обладал к тому же большой наглядностью и был удобен для проведения расчетов. Поэтому он быстро завоевал популярность у инженеров. Однако этот метод носил чисто интуитивный характер. Ни его автор, ни его последователи даже не сделали попытки дать какое-либо обоснование новому методу. Поэтому он долгое время (подобно методу Хевисайда) оставался вне матеиатики *).

В тридцатых годах Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов предложили некоторый общий подход для исследования уравнений типа (*). Его основное содержание сводится к построению такой замены переменных, которгя позволяет отделить «быстрые» переменные от «медленных». Эта замена переменных позволяет также представить решение в виде асимптотического ряда, первый член которого совпадает с решением, полученным по методу Ван-дер-Поля (для тех задач, которые могут быть решены этим методом). В последующие годы метод Крылова – Боголюбова получил, главным образом благодаря работам учеников Н. Н. Боголюбова (Ю.А.Митропольского, Д. Н. Зубарева и др.) дальнейшее развитие. Он был распространен на новые типы задач (например, на задачи исследования поведения системы под действием периодических возмущений), был доказан целый ряд теорем, превративший этот метод в строгую математическую теорию. В послевсенное время метод разделения движений начал использоваться очень широко, находя применение в самых различных областях инженерной практики и физики. Данная глава может рассматриваться как введение в теорию асимптотических методов разделения движений.

В настоящее время существует несколько вариантов интерпретации этих методов. Та, которая используется в данной книге, по существу идентична интерпретации, предложенной в работах В.В. Волосова.