Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Предположим теперь, что на маятник (3.3) действует диссипативная сила, пропорциональная $1 / t$. Уравнение, описывающее движение маятника будет теперь таким:
\[
\ddot{x}+\frac{\dot{x}}{t}+\frac{x}{t^{2}}=0 .
\]
Разыскивая его решение снова в виде $x=t^{\lambda}$, найдем, что $\lambda$ удовлетворяет следующему уравнению:
\[
\dot{\lambda}^{2}+1=0,
\]
Таким образом, общее решение уравнения (3.6) можно представить в виде
\[
x=A_{1} \cos \ln t+A \sin \ln t .
\]
Характер колебательного процесса для этого случая изображен на рис. 10. Мы видим, что, несмотря на действие диссипативных сил, колебание маятника происходит с постоянной амплитудой, а не затухаег, как было бы в том случае, если бы параметры системы были бы постоянны. «Мгновенная» частота колебаний (3.7), точно так же как и в предыдущем случае, стремится
Рис. 10 . к нулю при неограниченном возрастании времени.
Можно привести примеры систем, колебательное движение которых происходит при наличии диссипативных сил и тем не менее амплитуда колебаний неограниченно растет со временем. К числу таких примеров относятся колебания неуправляемой оперенной ракеты, движущейся вертикально вверх с постоянной скоростью. Наличие оперения создает возвращающий аэродинамический момент. Таким образом, такая ракета, как говорят в динамике полета, имеет запас статической устойчнвости. Кроме восстанавливающего аэродинамического момента, на ракету действует демпфирующий аэродинамический момент. Несмотря на эти обстоятельства, движение такой ракеты неустойчиво: амплитуда колебаний неограниченно возрастает со временем. Причина состоит в том, что с увеличением высоты полета плотность воздуха $\rho$ экспоненциально убывает, а следовательно, неограниченно убывают и оба момента аэродинамических сил. Разумеется, в подобной задаче метод «замораживания» коэффициентов никакой полезной информации о поведении ракеты дать не может.
В следующем параграфе мы приведем некоторые условия, которые надо наложить на параметры системы, достаточные для того, чтобы амплитуда колебаний маятника, параметры которого изменяются со временем, были ограничены во все моменты времени.
