Рассмотрим теперь неоднородную систему
\[
\dot{y}+A y=x,
\]

где $x$ — вектор-функция времени
\[
x(t, \lambda)=\lambda^{p} x_{p}(t)+\lambda^{p-1} x_{p-1}(t)+\ldots,
\]

а матрица $A$ имеет вид (5.1′).
Для того чтобы найти общее решение уравнения (5.15), нам необходимо построить асимптотические представления для частного решения этого уравнения. Для этого может быть использована схема, изложенная в предыдущем параграфе.

Ищем решение в виде ряда
\[
y(t, \lambda)=\lambda^{p-k} z^{(1)}+\lambda^{p-k-1} z^{(2)}+\ldots,
\]

где функции $z^{(i)}$ удовлетворяют следующим системам уравнений:
\[
\begin{array}{l}
A^{(k)} z^{(1)}=x_{p}, \\
A^{(k)} z^{(2)}=-A^{(k-1)} z^{(1)}+x_{p-1}, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
A^{(k)} z^{(p-k+1)}=-\left\{\dot{z}^{(1)}+A^{(k-1} z^{(p-k)}+\ldots\right\}+x_{k} \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots
\end{array}
\]

В этом параграфе мы остановились только на формальной стороне вопроса. Однако можно доказать, что при известных условиях гладкости матрицы $A$ все рассуждения этого параграфа могут быть сделаны вполне строгими: полученные ряды нвляются асимптотическими.