В физике и технике имеют широкое распространение методы, которые основаны на предположении, что исследуемое нелинейное уравнение в некотором смысле близко к линейному. И в настоящем параграфе мы изучали уравнения вида
\[
\ddot{x}+\omega^{2} x=\varepsilon \varphi(x, \dot{x}, t, \varepsilon),
\]
которые при $\varepsilon=0$ переходят в линейные и для малых значений параметра $\varepsilon$ развивали методы, позволяющие эффективно вычислять периодические движения.
Такая точка зрения, как мы это видели, богата разнообразными возможностями: она не только позволяет «уточнить» порождающее решение, но и дает возможность обнаружить такие свойства уравнений (7.49), которые полностью утрачиваются, если принять $\varepsilon=0$.
В технике и физике далеко не всегда уравнения оказываются в «готовом квазилинейном виде» типа (7.49). Разумеется, достаточно часто встречаются задачи с малыми возмущениями и малыми нелинейностями. Но очень часто мы умышленно трактуем нашу задачу как квазилинейную, предполагая использовать мощные средства анализа подобных задач. Попробуем на простом примере пояснить смысл редукции задачи к квазилинейной и область применимости подобной трактовки. Рассмотрим уравнение
\[
\ddot{y}+Q(y)=\varepsilon \varphi(y, \dot{y}, t) .
\]
Предположим, что точка $y=\dot{y}=0$ определяет положение равновесия и функция $Q(y)$ в окрестности этой точки является аналитической
\[
Q(y)=\omega^{2} y-b_{2} y^{2}-b_{3} y^{3}+\ldots .
\]
При $\varepsilon \rightarrow 0$ это нелинейное уравнение переходит снова в некоторое нелинейноє уравнение. Для того чтобы уравнение (7.50) можно было трактовать как квазилинейное, сделаем замену переменных
\[
y=\sqrt{\varepsilon} x, \quad \varepsilon=\mu^{2} .
\]
Уравнение (7.50) перейдет теперь в следующее:
где
\[
\ddot{x}+\omega^{2} x=\mu \varphi^{*}(x, \dot{x}, t, \mu),
\]
\[
\varphi^{*}=\varphi(\mu x, \mu \dot{x}, t)+b_{2} x^{2}+\mu b_{3} x^{3}+\ldots
\]
Уравнение (7.52) уже относится к рассмотренному типу уравнений (7.49).
Қак это видно из формул (7.51), возможность квазилинеаризации основана на предположении, что отклонение от положения равновесия мало. Таким образом, квазилинейная трактовка может быть использована для изучения только малых колебаний нелинейной системы. Для изучения колебаний с большими амплитудами изложенный подход не имеет смысла.
Однако может оказаться, что квазилинейная трактовка не будет пригодна даже для исследования малых колебаний. В самом деле, мы сделали замену (7.51). Но уже одним этим мы наложили известные ограничения на класс функций, внутри которого мы разыскиваем интересующее нас решение. И может случиться, что периодическое решение, которое допускает уравнение (7.50), не содержится внутри этого класса и, следовательно, в подобной ситуации квазилинейная трактовка не дает никакой полезной информации.
Рассмотрим простейший пример. Поставим задачу отыскания резонансных решений уравнения
\[
\ddot{y}+y-a^{2} y^{2}=\varepsilon \cos t .
\]
Рассматривая это уравнение как квазилинейное, заменой (7.51), мы приводим его к виду
\[
\ddot{x}+x=\mu\left(\cos t+a^{2} x^{2}\right) .
\]
Применим к уравнению (7.54) метод отыскания периодических решений, изложенный в этом параграфе. Для этого положим
\[
x=M \cos t+N \sin t+\mu x_{1}+\mu^{2} x_{2}+\ldots
\]
Функция $x_{1}$ удовлетворяет следующему уравнению:
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}_{1}+x_{1}=\cos t+a^{2}\left\{\frac{1}{2}\left(M^{2}+N^{2}\right)+\left(M^{2}-N^{2}\right) \cos 2 t+M N \sin 2 t\right\} \equiv \\
\equiv f(M, N, t) .
\end{array}
\]
Для того чтобы уравнение (7.56) имело периодическое решение, необходимо так выбрать параметры $M$ и $N$, чтобы правая часть этого уравнения была ортогональна $\sin t$ и $\cos t$. Но легко видеть, что этого сделать нельзя. В самом деле,
\[
\int_{0}^{2 \pi} f(M, N, t) \cos t d t=\pi
\]
и не зависит от $M$ и $N$.
Таким образом, на основании квазилинейной теории мы должны утверждать, что уравнение (7.53) не допускает периодических решений. Тем не менее, как мы это увидим в следующем параграфе, периодические решения этого уравнения существуют в окрестности положения равновесия. Только эти решения нельзя представить в форме ряда (7.55). Итак, если квазилинейная теория не дает возможности определить периодические решения нелинейного уравнения, то это еще не значит, что исходное уравнение не имеет подобных решений.
Отказ от квазилинейной трактовки задачи приводит к резкому усложнению задачи. Существует очень немного методов, позволяющих в отдельных случаях рассмотреть другие классы нелинейных уравнений. Один из таких методов принадлежит покойному профессору Свердловского университета И. Г. Малкину. Метод, который разработал И. Г. Малкин, позволяет распространить методологию Пуанкаре на изучение широкого класса систем, близких к системам Ляпунова *).
