Исследуя систему (8.1), мы предполагали, что $a_{m 1}
eq 0$. Это предположение было весьма существенным. Как мы увидим ниже, структура частных решений при $a_{m 1}=0$ будет, вообще говоря, другая. Тем не менее использованная схема рассуждений без каких-либо существенных изменений позволит нам построить систему линейно независимых решений и в этом случае. Рассмотрим для определенности тот случай, когда $a_{m 1}=0$, но $a_{m 2}
eq 0$.
Итак, рассмотрим систему уравнений (8.2), в которой $a_{m 1}=0$ :
\[
\left.\begin{array}{rl}
\dot{x}_{1} & =\lambda \mu(t) x_{1}+\lambda x_{2}+\sum_{j=1}^{m} a_{1 j}(t) x_{j}, \\
\dot{x}_{2} & =\lambda \mu(t) x_{2}+\lambda x_{3}+\sum_{j=1}^{m} a_{2 j}(t) x_{j}, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
\dot{x}_{m-1} & =\lambda \mu(t) x_{m-1}+\lambda x_{m}+\sum_{j=1}^{m} a_{m-1, j}(t) x_{j}, \\
\dot{x}_{m} & =\lambda \mu(t) x_{m}+\sum_{j=2}^{m} a_{m j} x_{j}
\end{array}\right\}
\]

Решение этой системы мы снова будем искать в виде (8.2) и, следовательно, для функций $u_{i}$ и $\varphi_{i}$ получим снова систему (8.3). Однако в последнем уравнении этой системы старшие слагаемые в правой части будут теперь $a_{m 2} x_{2}$. Согласно общей схеме оно должно быть компенсировано слагаемым $u_{m \varphi}$. Эго нам даст следующее соотношение для показателей $k_{m}, k$ и $k_{2}$ :
\[
k_{m}+k=k_{2} \text {. }
\]

Таким образом, система уравнений (8.5) теперь будет такой:
\[
\left.\begin{array}{c}
k_{1}-k_{2}=1-k, \\
k_{2}-k_{3}=1-k, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
k_{m-1}-k_{m}=1-k, \\
k_{m}-k_{2}=-k .
\end{array}\right\}
\]

Заметим, что в этой системе первое уравнение может быть рассмотрено независимо от других, которые образуют систему $m-1$-го порядка относительно неизвестных $k_{2}, k_{3}, \ldots, k_{m}$. Oпределитель этой системы равен нулю. Условие ее разрешимости, как мы видели выше, при изучении системы (8.5), состоит в том, что сумма членов в правом столбце должна равняться нулю. Отсюда мы получаем значение $k$
\[
k=\frac{m-2}{m-1} .
\]

Полагая снова $k_{1}=0$, мы находим
\[
k_{2}=-\frac{1}{m-1}, \quad k_{3}=-\frac{2}{m-1}, \ldots, \quad k_{m}=-\frac{m-1}{m-1}=-1 .
\]

Теперь для функции $x_{k}$ будем иметь следующие представления:
\[
x_{k}=\lambda^{-\frac{k-1}{m-1}} u_{k}^{*}(\lambda, t) \exp \int_{0}^{t}\left\{\lambda \mu(t)+\lambda^{\frac{m-2}{m-1}} \varphi^{*}(\lambda, t)\right\} d t .
\]

Для функций $u_{k}^{*}$ и $\varphi^{\prime}$ построим разложения типа (8.7). Подставляя эти выражения в уравнения (8.1′), мы получим следующую систему уравнений относительно функций $u_{k 0}$ :
\[
\left.\begin{array}{c}
u_{10} \varphi_{0}-u_{20}=0, \\
u_{20} \varphi_{0}-u_{30}=0, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
u_{m-1} \varphi_{0}-u_{m 0}=0, \\
u_{m 0} \varphi_{0}-a_{m 2} u_{2 v}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Составим разрешающее уравнение

Свертывая определитель, получим
\[
\varphi_{0}\left(\varphi_{0}^{m-1}-a_{m 2}\right)=0 .
\]

Уравнение (8.29) имеет один нулевой корень $\varphi_{0}=0$ и $m-1$ ненулевых корней
\[
\varphi_{0}=\sqrt[m-1]{a_{m 2}(t)} .
\]

Пусть сначала $\varphi_{0}
eq 0$. Тогда, считая $u_{10}$ произвольной функцией, находим
\[
u_{20}=u_{10} \varphi_{0}, \ldots, u_{m 0}=u_{10} \varphi_{0}^{m-1} .
\]

Корню $\varphi=0$ отвечает следующая система решений уравнения (8.28): $u_{10}$ — произвольная функция, $u_{20} \equiv u_{30} \equiv \ldots \equiv 0$. Расчет последующих членов разложения может быть проведен по схеме, которая была изложена выше.