Исследуя систему (8.1), мы предполагали, что $a_{m1}eq0$. Это предположение было весьма существенным. Как мы увидим ниже, структура частных решений при $a_{m1}=0$ будет, вообще говоря, другая. Тем не менее использованная схема рассуждений без каких-либо существенных изменений позволит нам построить систему линейно независимых решений и в этом случае. Рассмотрим для определенности тот случай, когда $a_{m1}=0$, но $a_{m2}eq0$.
Итак, рассмотрим систему уравнений (8.2), в которой $a_{m1}=0$ :
$$\begin{array}{rl}{\dot{x}}_1& =\lambda \mu (t)x_1+\lambda x_2+\sum _{j=1}^m{a}_{1j}(t)x_j,\\ {\dot{x}}_2& =\lambda \mu (t)x_2+\lambda x_3+\sum _{j=1}^m{a}_{2j}(t)x_j,\\ \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\ {\dot{x}}_{m-1}& =\lambda \mu (t)x_{m-1}+\lambda x_m+\sum _{j=1}^m{a}_{m-1,j}(t)x_j,\\ {\dot{x}}_m& =\lambda \mu (t)x_m+\sum _{j=2}^m{a}_{mj}{x}_j\end{array}\}$$

Решение этой системы мы снова будем искать в виде (8.2) и, следовательно, для функций $u_i$ и ${\phi }_i$ получим снова систему (8.3). Однако в последнем уравнении этой системы старшие слагаемые в правой части будут теперь $a_{m2}{x}_2$. Согласно общей схеме оно должно быть компенсировано слагаемым $u_{m\phi }$. Эго нам даст следующее соотношение для показателей $k_m,k$ и $k_2$ :
$$k_m+k=k_2\text{. }$$

Таким образом, система уравнений (8.5) теперь будет такой:
$$\begin{array}{c}{k}_1-k_2=1-k,\\ k_2-k_3=1-k,\\ \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\ k_{m-1}-k_m=1-k,\\ k_m-k_2=-k.\end{array}\}$$

Заметим, что в этой системе первое уравнение может быть рассмотрено независимо от других, которые образуют систему $m-1$-го порядка относительно неизвестных $k_2,k_3,\dots ,k_m$. Oпределитель этой системы равен нулю. Условие ее разрешимости, как мы видели выше, при изучении системы (8.5), состоит в том, что сумма членов в правом столбце должна равняться нулю. Отсюда мы получаем значение $k$
$$k=\frac{m-2}{m-1}.$$

Полагая снова $k_1=0$, мы находим
$$k_2=-\frac{1}{m-1},k_3=-\frac{2}{m-1},\dots ,k_m=-\frac{m-1}{m-1}=-1.$$

Теперь для функции $x_k$ будем иметь следующие представления:
$$x_k={\lambda }^{-\frac{k-1}{m-1}}{u}_k^{\ast }(\lambda ,t)\exp {\int }_0^t\{\lambda \mu (t)+{\lambda }^{\frac{m-2}{m-1}}{\phi }^{\ast }(\lambda ,t)\}dt.$$

Для функций $u_k^{\ast }$ и ${\phi }^{\prime }$ построим разложения типа (8.7). Подставляя эти выражения в уравнения (8.1′), мы получим следующую систему уравнений относительно функций $u_{k0}$ :
$$\begin{array}{c}{u}_{10}{\phi }_0-u_{20}=0,\\ u_{20}{\phi }_0-u_{30}=0,\\ \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\ u_{m-1}{\phi }_0-u_{m0}=0,\\ u_{m0}{\phi }_0-a_{m2}{u}_{2v}=0.\end{array}\}$$

Составим разрешающее уравнение

Свертывая определитель, получим
$${\phi }_0({\phi }_0^{m-1}-a_{m2})=0.$$

Уравнение (8.29) имеет один нулевой корень ${\phi }_0=0$ и $m-1$ ненулевых корней
$${\phi }_0=\sqrt[m-1]{a_{m2}(t)}.$$

Пусть сначала ${\phi }_{0}eq0$. Тогда, считая $u_{10}$ произвольной функцией, находим
$$u_{20}=u_{10}{\phi }_0,\dots ,u_{m0}=u_{10}{\phi }_0^{m-1}.$$

Корню $\phi =0$ отвечает следующая система решений уравнения (8.28): $u_{10}$ — произвольная функция, $u_{20}\equiv u_{30}\equiv \dots \equiv 0$. Расчет последующих членов разложения может быть проведен по схеме, которая была изложена выше.