Главная > АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ (Н. Н.МОИСЕЕВ)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Будем считать X,Y и дифференцируемыми функциями своих переменных столько раз, сколько членов рядов (4.2) мы собираемся вычислить.

Для определения функций, входящих в правые части равенств (4.2) и уравнений (4.3), подставим ряды (4.2) в систему уравнений (4.1) и заменим производные x¯˙ и y¯˙ их выражениями (4.3). Кроме того, заметим, что
dutdt=ulx¯x¯˙+uiy¯y¯˙=ulx¯(εA1+ε2A2+)++uiy¯(ω(x~)+εB1+ε2B2+).

Перепишем теперь уравнения (4.1) с учетом сделанных замечаний
εA1(x¯)+ε2A2(x¯)++εu1x¯(εA1(x)+)++εu1y¯(ω(x¯)+εB1(x¯)+ε2B2(x¯)+)++ε2u2x¯(εA1(x¯)+)+ε2u2y¯(ω(x¯)+)==εX(x¯+εu1+ε2u2+,y¯+εv1+ε2v2+,ε),
ω(x¯)+εB1(x¯)+ε2B2(x¯)++εv1x¯(εA1+)++εv1y¯(ω(x¯)+εB1(x¯)+ε2B2(x¯)+)++ε2v2x¯(εA1(x¯)+)+ε2v2y¯(ω(x¯)+)==ω(x¯+εu1(x¯,y¯)+ε2u2(x¯,y¯)+)++εY(x¯+εu1+ε2u2+,y¯+εv1+ε2v2+,ε).

Правые части этих уравнений разложим по степеням параметра ε и сравним коэффициенты при одинаковых степенях этого параметра. В результате мы придем к следующей системе уравнений, определяющей искомые функции:
u1y¯ω(x¯)=X(x¯,y¯,0)A1(x¯)g1(x¯,y¯)A1(x¯),v1y¯ω(x¯)=Y(x¯,y¯,0)+D1(u1)B1(x¯)h1(x¯,y¯)B1(x¯),u2y¯ω(x¯)=Xx¯u1+Xy¯v1+Xεu1x¯A1u1y¯B1A2(x¯)g2(x¯,y¯)A2(x¯),v2y¯ω(x¯)=Yx¯u1+Yy¯v1+Yεv1y¯B1++D1(u2)+D2(u1)B(x¯)h2(x¯,y¯)B2(x¯)}

и т. д.

Общий вид систем уравнений для определения uk,vk,Ak и Bk будет такой:
ω(x¯)uky¯=gk(x¯,y¯)Ak(x¯),ω(x¯)vky¯=hk(x¯,y¯)Bk(x¯).}

Так как функции gk и hk определяются предыдущими приближениями, то они должны считаться заданными функциями своих переменных. Напомним, что величины x¯,uk и Ak — векторы с компонентами x¯(j),uk(j) и Ak(j) соответственно, y¯,vk и Bk — скаляры. Точно так же X — это вектор-функция своих аргументов. а Y и ω — скалярные функции. Следовательно, ui/y¯, X/y¯,Y/x¯ — это векторы с компонентами ui(j)/y¯,X(j)/y¯ и Y/x¯(j) соответственно, X/x — это квадратная матрица с элементами X(i)/x¯(j) и т. д. Кроме того, в уравнениях фигурируют операторы D1(u) и D2(u). Они имеют следующий смысл:
D1(u)=j=1nωx¯(j)u(j),D2(u)=12k,s2ωx¯(k)x(j).

Присутствие этих членов связано с разложением функции ω(x¯) в ряд Тейлора.
Все производные в уравнениях (4.4) вычислены при ε=0.
Рассмотрим первое из уравнений (4.4). Это уравнение в частных производных первого порядка, разрешенное относительно производной неизвестной функции u1/y¯, причем это уравнение содержит еще одну неизвестную функцию A1(x¯). Интегрируя это уравнение, получим
u1(x¯,y¯)=1ω(x)y¯0y¯{g1(x¯,y¯)A1(x¯)}dy¯+φ(x¯),

где φ(x¯) — произвольная функция x¯.
Мы условились разыскивать решение в классе функций, удовлетворяющих условию ограниченности
limy¯|ui(x¯,y¯)|<.

Под знаком интеграла в выражении для u1(x¯,y¯) стоит некоторая периодическая функция y¯, поскольку g1(x¯,y¯) — периодическая функция y¯ и величина A не зависит от y¯. Период этой функции по y¯ равен 2л. Предположим теперь, что ее среднее значение за период
g1A=12πy0y0+2π(g1(x¯,y¯)A1(x¯))dy=c(x¯)eq0.

Тогда
limku1(x¯,y¯0+2πk)=1ω(x¯)lim2πc(x¯)k=±.

Выбор знака плюс или минус зависит от знака c(x¯). Таким образом, для ограниченности u1 необходимо и достаточно, чтобы
c(x¯)=0

для любого x¯.
Интеграл в равенстве (4.6) содержит неизвестную функцию A1(x¯). Условия (4.7) достаточно для ее однозначного определения. В самом деле, из равенства (4.7) сразу следует, что среднее значение функции g
g¯(x¯)=12π02πg(x¯,y¯)dy

должно равняться A1(x¯). Итак,
A1(x¯)=g¯1(x)=X¯(x).

Интегрируя теперь первое из уравнений (4.4), мы получим выражение для u1(x¯,y¯) в виде квадратур от известных функций
u1(x¯,y¯)=1ω(x)[y¯0y¯X(x¯,y¯)dyX¯y¯]+φ1(x¯).

В выражение (4.8) входит функция φ1(x¯), являющаяся «постоянной» интегрирования и выбираемая по произволу.

Существуют различные способы рационального задания этой функции. Например, если мы решаем задачу Коши, т. е. отыскиваем решение системы (4.1) по условиям
 при t=t0{x=x0,y=y0,

то часто бывает удобно потребовать, чтобы функции x¯ и y¯ удовлетворяли тем же условиям, что и функции x и y, т. е. чтобы
x(t0)=x¯(t0),y(t0)=y¯(t0).

Отсюда сразу следует, что u1(x¯0,y¯0)=0, т. е. φ1(x¯0)=0. Если, кроме того, потребовать, чтобы при y=y¯0 имело место равенство x=x¯, то функцию φ1(x) следует принять равной нулю.

Существуют и другие способы выбора произвольных функций. Например, при исследовании систем Гамильтона бывает целесообразно потребовать, чтобы система (4.3) была также системой Гамильтона. Это требование даст другой способ задания функции φ1(x). В дальнейшем будет показано, что точность построения приближенного решения не зависит от выбора этих функций. Таким образом, преобразование (4.2) может быть реализовано не единственным образом.

Примечание. Здесь мы впервые сталкиваемся с тем фактом, что реализация процедуры построения решения возможна не единственным образом. Однако такая ситуация типична для всех асимптотических теорий. Мы будем строить конечные агрегаты, которые и будем называть приближенными решениями. Установленная нами неединственность реализаций означает только одно: существует целое семейство агрегатов, состоящее из одинакового количества слагаемых, приближающих решение с одной и той же степенью точности в том смысле, что разность точного и приближенного решения стремится к нулю вместе с величиной ε независимо от того, какой из представителей семейства аппроксимирующих агрегатов нами рассматривается.

Перейдем теперь к исследованию остальных уравнений системы (4.4). Рассуждая совершенно аналогично тому, как мы это делали при исследовании первого из уравнений (4.4), найдем, что
B1(x¯)=h¯1=Y¯+D1u¯1,v1(x¯,y¯)=1ω(x¯){y¯0y¯h1(x¯,ξ¯)dξh¯1(x¯)y¯}+ψ1(x¯),

где ψ1(x) — также произвольная функция своего аргумента. В общем случае
Ai=g¯i,Bi=h¯i,ui(x¯,y¯)=1ω(x¯){y¯0y¯gi(x¯,ξ)dξg¯iy¯}+φi(x¯),vi(x¯,y¯)=1ω(x¯){y¯0y¯hi(x¯,ξ)dξh¯iy¯}+ψi(x¯).}

Выражения (4.9) исчерпывают задачу; сформулированную в начале раздела: они дают возможность вычислить все функиии, входящие в преобразование (4.2), и определить правые части уравнений (4.3),

1
Оглавление
email@scask.ru