Будем считать и дифференцируемыми функциями своих переменных столько раз, сколько членов рядов (4.2) мы собираемся вычислить.
Для определения функций, входящих в правые части равенств (4.2) и уравнений (4.3), подставим ряды (4.2) в систему уравнений (4.1) и заменим производные и их выражениями (4.3). Кроме того, заметим, что
Перепишем теперь уравнения (4.1) с учетом сделанных замечаний
Правые части этих уравнений разложим по степеням параметра и сравним коэффициенты при одинаковых степенях этого параметра. В результате мы придем к следующей системе уравнений, определяющей искомые функции:
и т. д.
Общий вид систем уравнений для определения и будет такой:
Так как функции и определяются предыдущими приближениями, то они должны считаться заданными функциями своих переменных. Напомним, что величины и — векторы с компонентами и соответственно, и — скаляры. Точно так же — это вектор-функция своих аргументов. а и — скалярные функции. Следовательно, , — это векторы с компонентами и соответственно, — это квадратная матрица с элементами и т. д. Кроме того, в уравнениях фигурируют операторы и . Они имеют следующий смысл:
Присутствие этих членов связано с разложением функции в ряд Тейлора.
Все производные в уравнениях (4.4) вычислены при .
Рассмотрим первое из уравнений (4.4). Это уравнение в частных производных первого порядка, разрешенное относительно производной неизвестной функции , причем это уравнение содержит еще одну неизвестную функцию . Интегрируя это уравнение, получим
где — произвольная функция .
Мы условились разыскивать решение в классе функций, удовлетворяющих условию ограниченности
Под знаком интеграла в выражении для стоит некоторая периодическая функция , поскольку — периодическая функция и величина не зависит от . Период этой функции по равен 2л. Предположим теперь, что ее среднее значение за период
Тогда
Выбор знака плюс или минус зависит от знака . Таким образом, для ограниченности необходимо и достаточно, чтобы
для любого .
Интеграл в равенстве (4.6) содержит неизвестную функцию . Условия (4.7) достаточно для ее однозначного определения. В самом деле, из равенства (4.7) сразу следует, что среднее значение функции
должно равняться . Итак,
Интегрируя теперь первое из уравнений (4.4), мы получим выражение для в виде квадратур от известных функций
В выражение (4.8) входит функция , являющаяся «постоянной» интегрирования и выбираемая по произволу.
Существуют различные способы рационального задания этой функции. Например, если мы решаем задачу Коши, т. е. отыскиваем решение системы (4.1) по условиям
то часто бывает удобно потребовать, чтобы функции и удовлетворяли тем же условиям, что и функции и , т. е. чтобы
Отсюда сразу следует, что , т. е. . Если, кроме того, потребовать, чтобы при имело место равенство , то функцию следует принять равной нулю.
Существуют и другие способы выбора произвольных функций. Например, при исследовании систем Гамильтона бывает целесообразно потребовать, чтобы система (4.3) была также системой Гамильтона. Это требование даст другой способ задания функции . В дальнейшем будет показано, что точность построения приближенного решения не зависит от выбора этих функций. Таким образом, преобразование (4.2) может быть реализовано не единственным образом.
Примечание. Здесь мы впервые сталкиваемся с тем фактом, что реализация процедуры построения решения возможна не единственным образом. Однако такая ситуация типична для всех асимптотических теорий. Мы будем строить конечные агрегаты, которые и будем называть приближенными решениями. Установленная нами неединственность реализаций означает только одно: существует целое семейство агрегатов, состоящее из одинакового количества слагаемых, приближающих решение с одной и той же степенью точности в том смысле, что разность точного и приближенного решения стремится к нулю вместе с величиной независимо от того, какой из представителей семейства аппроксимирующих агрегатов нами рассматривается.
Перейдем теперь к исследованию остальных уравнений системы (4.4). Рассуждая совершенно аналогично тому, как мы это делали при исследовании первого из уравнений (4.4), найдем, что
где — также произвольная функция своего аргумента. В общем случае
Выражения (4.9) исчерпывают задачу; сформулированную в начале раздела: они дают возможность вычислить все функиии, входящие в преобразование (4.2), и определить правые части уравнений (4.3),