Будем считать $X, Y$ и дифференцируемыми функциями своих переменных столько раз, сколько членов рядов (4.2) мы собираемся вычислить.
Для определения функций, входящих в правые части равенств (4.2) и уравнений (4.3), подставим ряды (4.2) в систему уравнений (4.1) и заменим производные $\dot{\bar{x}}$ и $\dot{\bar{y}}$ их выражениями (4.3). Кроме того, заметим, что
\[
\begin{aligned}
\frac{d u_{t}}{d t}=\frac{\partial u_{l}}{\partial \bar{x}} \dot{\bar{x}}+\frac{\partial u_{i}}{\partial \bar{y}} \dot{\bar{y}}=\frac{\partial u_{l}}{\partial \bar{x}}\left(\varepsilon A_{1}+\varepsilon^{2} A_{2}\right. & +\ldots)+ \\
& +\frac{\partial u_{i}}{\partial \bar{y}}\left(\omega(\tilde{x})+\varepsilon B_{1}+\varepsilon^{2} B_{2}+\ldots\right) .
\end{aligned}
\]
Перепишем теперь уравнения (4.1) с учетом сделанных замечаний
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon A_{1}(\bar{x})+\varepsilon^{2} A_{2}(\bar{x})+\ldots+\varepsilon \frac{\partial u_{1}}{\partial \bar{x}}\left(\varepsilon A_{1}(x)+\ldots\right)+ \\
+\varepsilon \frac{\partial u_{1}}{\partial \bar{y}}\left(\omega(\bar{x})+\varepsilon B_{1}(\bar{x})+\varepsilon^{2} B_{2}(\bar{x})+\ldots\right)+ \\
+\varepsilon^{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \bar{x}}\left(\varepsilon A_{1}(\bar{x})+\ldots\right)+\varepsilon^{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \bar{y}}(\omega(\bar{x})+\ldots)= \\
\quad=\varepsilon X\left(\bar{x}+\varepsilon u_{1}+\varepsilon^{2} u_{2}+\ldots, \bar{y}+\varepsilon v_{1}+\varepsilon^{2} v_{2}+\ldots, \varepsilon\right),
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{c}
\omega(\bar{x})+\varepsilon B_{1}(\bar{x})+\varepsilon^{2} B_{2}(\bar{x})+\ldots+\varepsilon \frac{\partial v_{1}}{\partial \bar{x}}\left(\varepsilon A_{1}+\ldots\right)+ \\
+\varepsilon \frac{\partial v_{1}}{\partial \bar{y}}\left(\omega(\bar{x})+\varepsilon B_{1}(\bar{x})+\varepsilon^{2} B_{2}(\bar{x})+\ldots\right)+ \\
+\varepsilon^{2} \frac{\partial v_{2}}{\partial \bar{x}}\left(\varepsilon A_{1}(\bar{x})+\ldots\right)+\varepsilon^{2} \frac{\partial v_{2}}{\partial \bar{y}}(\omega(\bar{x})+\ldots)= \\
=\omega\left(\bar{x}+\varepsilon u_{1}(\bar{x}, \bar{y})+\varepsilon^{2} u_{2}(\bar{x}, \bar{y})+\ldots\right)+ \\
\quad+\varepsilon Y\left(\bar{x}+\varepsilon u_{1}+\varepsilon^{2} u_{2}+\ldots, \bar{y}+\varepsilon v_{1}+\varepsilon^{2} v_{2}+\ldots, \varepsilon\right) .
\end{array}
\]
Правые части этих уравнений разложим по степеням параметра $\varepsilon$ и сравним коэффициенты при одинаковых степенях этого параметра. В результате мы придем к следующей системе уравнений, определяющей искомые функции:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{\partial u_{1}}{\partial \bar{y}} \omega(\bar{x}) & =X(\bar{x}, \bar{y}, 0)-A_{1}(\bar{x}) \equiv g_{1}(\bar{x}, \bar{y})-A_{1}(\bar{x}), \\
\frac{\partial v_{1}}{\partial \bar{y}} \omega(\bar{x})=Y(\bar{x}, \bar{y}, 0)+D_{1}\left(u_{1}\right)-B_{1}(\bar{x}) \equiv h_{1}(\bar{x}, \bar{y})-B_{1}(\bar{x}), \\
\frac{\partial u_{2}}{\partial \bar{y}} \omega(\bar{x})= & \frac{\partial X}{\partial \bar{x}} u_{1}+\frac{\partial X}{\partial \bar{y}} v_{1}+\frac{\partial X}{\partial \varepsilon}-\frac{\partial u_{1}}{\partial \bar{x}} A_{1}- \\
& \quad-\frac{\partial u_{1}}{\partial \bar{y}} B_{1}-A_{2}(\bar{x}) \equiv g_{2}(\bar{x}, \bar{y})-A_{2}(\bar{x}), \\
\frac{\partial v_{2}}{\partial \bar{y}} \omega(\bar{x})= & \frac{\partial Y}{\partial \bar{x}} u_{1}+\frac{\partial Y}{\partial \bar{y}} v_{1}+\frac{\partial Y}{\partial \varepsilon}-\frac{\partial v_{1}}{\partial \bar{y}} B_{1}+ \\
& +D_{1}\left(u_{2}\right)+D_{2}\left(u_{1}\right)-B(\bar{x}) \equiv h_{2}(\bar{x}, \bar{y})-B_{2}(\bar{x})
\end{array}\right\}
\]
и т. д.
Общий вид систем уравнений для определения $u_{k}, v_{k}, A_{k}$ и $B_{k}$ будет такой:
\[
\left.\begin{array}{l}
\omega(\bar{x}) \frac{\partial u_{k}}{\partial \bar{y}}=g_{k}(\bar{x}, \bar{y})-A_{k}(\bar{x}), \\
\omega(\bar{x}) \frac{\partial v_{k}}{\partial \bar{y}}=h_{k}(\bar{x}, \bar{y})-B_{k}(\bar{x}) .
\end{array}\right\}
\]
Так как функции $g_{k}$ и $h_{k}$ определяются предыдущими приближениями, то они должны считаться заданными функциями своих переменных. Напомним, что величины $\bar{x}, u_{k}$ и $A_{k}$ – векторы с компонентами $\bar{x}^{(j)}, u_{k}^{(j)}$ и $A_{k}^{(j)}$ соответственно, $\bar{y}, v_{k}$ и $B_{k}$ – скаляры. Точно так же $X$ – это вектор-функция своих аргументов. а $Y$ и $\omega$ – скалярные функции. Следовательно, $\partial u_{i} / \partial \bar{y}$, $\partial X / \partial \bar{y}, \partial Y / \partial \bar{x}$ – это векторы с компонентами $\partial u_{i}^{(j)} / \partial \bar{y}, \partial X^{(j)} / \partial \bar{y}$ и $\partial Y / \partial \bar{x}^{(j)}$ соответственно, $\partial X / \partial \vec{x}$ – это квадратная матрица с элементами $\partial X^{(i)} / \partial \bar{x}^{(j)}$ и т. д. Кроме того, в уравнениях фигурируют операторы $D_{1}(u)$ и $D_{2}(u)$. Они имеют следующий смысл:
\[
D_{1}(u)=\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial \omega}{\partial \bar{x}^{(j)}} u^{(j)}, \quad D_{2}(u)=\frac{1}{2} \sum_{k, s} \frac{\partial^{2} \omega}{\partial \bar{x}^{(k)} \partial x^{(j)}} .
\]
Присутствие этих членов связано с разложением функции $\omega(\bar{x})$ в ряд Тейлора.
Все производные в уравнениях (4.4) вычислены при $\varepsilon=0$.
Рассмотрим первое из уравнений (4.4). Это уравнение в частных производных первого порядка, разрешенное относительно производной неизвестной функции $\partial u_{1} / \partial \bar{y}$, причем это уравнение содержит еще одну неизвестную функцию $A_{1}(\bar{x})$. Интегрируя это уравнение, получим
\[
u_{1}(\bar{x}, \bar{y})=\frac{1}{\omega(x)} \int_{\bar{y}_{0}}^{\bar{y}}\left\{g_{1}(\bar{x}, \bar{y})-A_{1}(\bar{x})\right\} d \bar{y}+\varphi(\bar{x}),
\]
где $\varphi(\bar{x})$ – произвольная функция $\bar{x}$.
Мы условились разыскивать решение в классе функций, удовлетворяющих условию ограниченности
\[
\lim _{\bar{y} \rightarrow \infty}\left|u_{i}(\bar{x}, \bar{y})\right|<\infty .
\]
Под знаком интеграла в выражении для $u_{1}(\bar{x}, \bar{y})$ стоит некоторая периодическая функция $\bar{y}$, поскольку $g_{1}(\bar{x}, \bar{y})$ – периодическая функция $\bar{y}$ и величина $A$ не зависит от $\bar{y}$. Период этой функции по $\bar{y}$ равен 2л. Предположим теперь, что ее среднее значение за период
\[
\overline{g_{1}-A}=\frac{1}{2 \pi} \int_{y_{0}}^{y_{0}+2 \pi}\left(g_{1}(\bar{x}, \bar{y})-A_{1}(\bar{x})\right) d y=c(\bar{x})
eq 0 .
\]
Тогда
\[
\lim _{k \rightarrow \infty} u_{1}\left(\bar{x}, \bar{y}_{0}+2 \pi k\right)=\frac{1}{\omega(\bar{x})} \lim 2 \pi c(\bar{x}) k= \pm \infty .
\]
Выбор знака плюс или минус зависит от знака $c(\bar{x})$. Таким образом, для ограниченности $u_{1}$ необходимо и достаточно, чтобы
\[
c(\bar{x})=0
\]
для любого $\bar{x}$.
Интеграл в равенстве (4.6) содержит неизвестную функцию $A_{1}(\bar{x})$. Условия (4.7) достаточно для ее однозначного определения. В самом деле, из равенства (4.7) сразу следует, что среднее значение функции $g$
\[
\bar{g}(\bar{x})=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} g(\bar{x}, \bar{y}) d y
\]
должно равняться $A_{1}(\bar{x})$. Итак,
\[
A_{1}(\bar{x})=\bar{g}_{1}(x)=\bar{X}(x) .
\]
Интегрируя теперь первое из уравнений (4.4), мы получим выражение для $u_{1}(\bar{x}, \bar{y})$ в виде квадратур от известных функций
\[
u_{1}(\bar{x}, \bar{y})=\frac{1}{\omega(x)}\left[\int_{\bar{y}_{0}}^{\bar{y}} X(\bar{x}, \bar{y}) d y-\bar{X} \bar{y}\right]+\varphi_{1}(\bar{x}) .
\]
В выражение (4.8) входит функция $\varphi_{1}(\bar{x})$, являющаяся «постоянной» интегрирования и выбираемая по произволу.
Существуют различные способы рационального задания этой функции. Например, если мы решаем задачу Коши, т. е. отыскиваем решение системы (4.1) по условиям
\[
\text { при } t=t_{0}\left\{\begin{array}{l}
x=x_{0}, \\
y=y_{0},
\end{array}\right.
\]
то часто бывает удобно потребовать, чтобы функции $\bar{x}$ и $\bar{y}$ удовлетворяли тем же условиям, что и функции $x$ и $y$, т. е. чтобы
\[
x\left(t_{0}\right)=\bar{x}\left(t_{0}\right), \quad y\left(t_{0}\right)=\bar{y}\left(t_{0}\right) .
\]
Отсюда сразу следует, что $u_{1}\left(\bar{x}_{0}, \bar{y}_{0}\right)=0$, т. е. $\varphi_{1}\left(\bar{x}_{0}\right)=0$. Если, кроме того, потребовать, чтобы при $y=\bar{y}_{0}$ имело место равенство $x=\bar{x}$, то функцию $\varphi_{1}(x)$ следует принять равной нулю.
Существуют и другие способы выбора произвольных функций. Например, при исследовании систем Гамильтона бывает целесообразно потребовать, чтобы система (4.3) была также системой Гамильтона. Это требование даст другой способ задания функции $\varphi_{1}(x)$. В дальнейшем будет показано, что точность построения приближенного решения не зависит от выбора этих функций. Таким образом, преобразование (4.2) может быть реализовано не единственным образом.
Примечание. Здесь мы впервые сталкиваемся с тем фактом, что реализация процедуры построения решения возможна не единственным образом. Однако такая ситуация типична для всех асимптотических теорий. Мы будем строить конечные агрегаты, которые и будем называть приближенными решениями. Установленная нами неединственность реализаций означает только одно: существует целое семейство агрегатов, состоящее из одинакового количества слагаемых, приближающих решение с одной и той же степенью точности в том смысле, что разность точного и приближенного решения стремится к нулю вместе с величиной $\varepsilon$ независимо от того, какой из представителей семейства аппроксимирующих агрегатов нами рассматривается.
Перейдем теперь к исследованию остальных уравнений системы (4.4). Рассуждая совершенно аналогично тому, как мы это делали при исследовании первого из уравнений (4.4), найдем, что
\[
\begin{aligned}
B_{1}(\bar{x}) & =\bar{h}_{1}=\bar{Y}+D_{1} \bar{u}_{1}, \\
v_{1}(\bar{x}, \bar{y}) & =\frac{1}{\omega(\bar{x})}\left\{\int_{\bar{y}_{0}}^{\bar{y}} h_{1}(\bar{x}, \bar{\xi}) d \xi-\bar{h}_{1}(\bar{x}) \bar{y}\right\}+\psi_{1}(\bar{x}),
\end{aligned}
\]
где $\psi_{1}(x)$ – также произвольная функция своего аргумента. В общем случае
\[
\left.\begin{array}{c}
A_{i}=\bar{g}_{i}, \quad B_{i}=\bar{h}_{i}, \\
u_{i}(\bar{x}, \bar{y})=\frac{1}{\omega(\bar{x})}\left\{\int_{\bar{y}_{0}}^{\bar{y}} g_{i}(\bar{x}, \xi) d \xi-\bar{g}_{i} \bar{y}\right\}+\varphi_{i}(\bar{x}), \\
v_{i}(\bar{x}, \bar{y})=\frac{1}{\omega(\bar{x})}\left\{\int_{\bar{y}_{0}}^{\bar{y}} h_{i}(\bar{x}, \xi) d \xi-\bar{h}_{i} \bar{y}\right\}+\psi_{i}(\bar{x}) .
\end{array}\right\}
\]
Выражения (4.9) исчерпывают задачу; сформулированную в начале раздела: они дают возможность вычислить все функиии, входящие в преобразование (4.2), и определить правые части уравнений (4.3),
