Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
a) Изложенные рассуждения могут быть использованы и для изучения устойчивости нестационарных задач.
Рассмотрим снова систему (6.2), и пусть $x^{*}$ — некоторое частное решение этой системы. Поставим вопрос об устойчивости
этого решения. Подобные вопросы возникают во многих прикладных задачах, например при исследовании переходных режимов в колебательных системах.
Замена (6.5) нас снова приводит к уравнению (6.6), но только теперь элементы матрицы $A$ будут уже не постоянными числами, а некоторыми известными функциями времени.
Повторяя рассуждения данного раздела, мы опять можем составить уравнение (6.10). Функция $\rho^{2}$ играет роль функции Ляпунова для уравнения с переменными коэффициентами
\[
\delta \dot{x}=A(t) \delta x .
\]
Согласно теореме Ляпунова для асимптотической устойчивости тривиального решения уравнения (6.6′) достаточно существования такой определенно положительной функции $W(\delta x)$, не зависящей от времени, что для любого $\delta x$ и любого момента времени $t$ имеет место неравенство
\[
-(R \delta x \cdot \delta x) \geqslant W(\delta x) .
\]
В качестве функции $\mathbb{W}$ мы можем принять функцию
\[
W=\mu(\delta x \cdot \delta x),
\]
где $\mu$-любое положительное число. Тогда для устойчивости нам достаточно потребовать, чтобы квадратичная форма
\[
-(R \delta x \cdot \delta x)-\mu(\delta x \cdot \delta x)
\]
была определенно положительной. Отсюда в силу неравенства Сильвестра, мы получаем следующие достаточные условия устойчивости:
б) Условия (6.12) определяют требования, которым должны удовлетворять коэффициенты системы (6.6) для того, чтобы обеспечить устойчивость решения. Изложенный способ исследования устойчивости является вариантом прямого метода Ляпунова, а функция $\rho^{2}$, как указывалось, является функцией Ляпунова.
В прикладных задачах широко используются и другие методы исследования устойчивости. Например, если матрица $A$ постоянная, то можно разыскивать решение уравнения (6.6) в виде
\[
\delta x=y e^{\lambda t} .
\]
Подставляя (6.14) в (6.6), мы получаем уравнение для $\lambda$
\[
|A-\lambda E|=0 \text {. }
\]
Характеристический определитель $|A-\lambda E|$ представляет собой некоторый полином от $\lambda$. Для асимптотической устойчивости решения $\delta x=0$ необходимо и достаточно, чтобы корни этого полинома имели отрицательные действительные части. Условия, которым должны удовлетворять коэффициенты этого полинома, необходимые и достаточные для того, чтобы его корни имели отрицательные действительные части, даются теоремой Гурвица *). Метод, использующий теорему Гурвица, совершенно эквивалентен изложенному с точки зрения окончательного результата.
в) Мы составили условия асимптотической устойчивости тривиального решения уравнения (6.6). По теории Ляпунова из этого факта следует и более сильный результат. Если условия (6.13) имеют место, то мы можем утверждать, что решение $x^{*}$ нелинейной системы (6.2) устойчиво в смысле Ляпунова (но не асимптотически устойчиво).
