Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Начнем изучение эффективных методов построения автоколебательных режимов с исследования квазилинейных уравнения вида причем $\omega(\varepsilon)$ условимся называть частотой. Будем искать режимы, частота которых обладгет следующим свойством: На этом основании положим и сделаем замену независимого переменного Значению $t=T$ отвечает значение $\tau=2 \pi$, т. е. период искомого решения относительно новой переменной теперь снова фиксирован — он равен $2 \pi$. Числа $g_{i}$ должны быть определены в процессе построения решения. Перепишем уравнение (5.6), сделав в нем замену (5.7): Поскольку уравнения (5.6) и (5.9) не содержат времени и уравнение (5.9) инвариантно относительно преобразования $t \rightarrow t+h$, нам достаточно рассмотреть следующую задачу Коши: Заметим, что величина $x_{0}(\varepsilon)$ также заранее неизвестна. Итак, мы пришли к задаче отыскания числа $x_{0}(\varepsilon)$ и периодического решения уравнения (5.9) периода $2 \pi$, которое определяется этим числом. Решение такой задачи будем искать в виде ряда, расположенного по степеням параметра $\varepsilon$, Функции $x^{(i)}$ удовлетворяют следующим уравнениям: Выпишем общее решение уравнения (5.12) но в силу (5.10) $d=0$, т. е. Величина $c$-амплитуда порождающего решения — нам неизвестна На этом шаге алгоритма она остается неопределенной. Рассмотрим теперь уравнение (5.13). Erо можно переписать в виде где является некоторой периодической функцией $\tau$ периода $2 \pi$. Для того чтобы уравнение (5.15) допускало периодические решения, необходима и достаточна ортогональность правой части этого уравнения функциям $\sin \tau$ и $\cos \tau$ : Первое из этих уравнений представляет собой некоторое трансцендентное уравнение для определения $c$-амплитуды порождающего решения. Уравнение (5.16) может вообще не иметь решений. Это будет в том случае, когда система (5.5) не допускает автоколебательных режимов, например в том случае, когда сила $F$ является диссипативной. Уравнение (5.16) может иметь конечное число решений, как это было в примере, рассмотренном в п. 1 этого параграфа. Уравнение (5.16) может оказаться тождеством, справедливым для любого значения $c$. Такая ситуация имеет место всякий раз, когда «возмущающая» функция $F$ является консервативной. В самом деле, пусть $F=F(x)$; тогда Функция $F(c \cos \tau)$ — четная периодическая функция $\tau$ периода $2 \pi$. Следовательно, она разлагается в ряд Фурье, содержащий только $\cos k \tau$ и, следовательно, в силу ортогональности $\sin \tau$ и $\cos k \tau$ для любого $k$ Условимся в дальнейшем считать, что $c$ — это отличный от нуля корень уравнения (5.16) кратности единицы *). Тогда уравнение (5.17) определяет единственное значение $g_{1}(c)$. Таким образом, на этом шаге алгоритм позволяет определить амплитуду порождающего решения и первую поправку на частоту, т. е. полностью рассчитать нулевое приближение. Если ограничиться нулевым приближением, то мы получим приближенное решение в виде Вернемся теперь снова к уравнению (5.13). Определив $c$ и $g_{1}$ из уравнений (5.16) и (5.17), мы пришли к уравнению, в котором правая часть — это периодическая функция времени. Эта функция обладает тем свойством, что она не содержит первых членов разложения в ряд Фурье. Уравнение (5.13) теперь можно переписать в виде где $F_{i j}$ — некоторые известные числа. где $\varphi_{1}(\tau)$ — периодическая функция, разложение которой не содержит $\sin \tau$ и $\cos \tau$; Функция $x^{(1)}$ удовлетворяет условию которое позволяет вычислить постоянную $N$ Постоянная $M_{1}$ в этом приближении определена быть не может. Следовательно, для того чтобы определить решение с точностью до членов, содержащих $\varepsilon^{2}$, необходимо рассмотреть второе приближение. где причем $F_{*}^{(2)}$ — функция, не содержащая величин $g_{2}$ и $x^{(1)}$ Здесь $x^{\prime}$ означает производную по аргументу $\tau$. Функции $F$, $\partial F / \partial x$ и $\partial F / \partial x^{\prime}$ вычислены при $x=x^{(0)}$. Преобразуем уравнение (5.21), заменив в нем величины $x^{(0)}$ и $x^{(1)}$ их выражениями (5.14) и (5.19): где является известной функцией времени. Заметим, что величина $N_{1}$, входящая в уравнение (5.22), также известна; она определяется формулой (5.20). Выпишем теперь условия существования периодических решений. Их можно представить в следующем виде: Преобразуем уравнения (5.23). Сначала рассмотрим второй интеграл, входящий в первое из этих уравнений, и проинтегрируем поскольку амплитуда $c$ является корнем уравнения (5.16). Преобразуем теперь первый из интегралов, входящих в это уравнение: Для этого заметим сначала, что Рассмотрим теперь равенство (5.17) и перепишем его в следующей форме: Дифференцируя это выражение по $c$, получим Таким образом, первое из уравнений (5.23) в окончательном виде будет иметь следующую форму: Преобразуем теперь второе уравнение (5.23). Прежде всего перепишем его в виде Используя (5.16), получим Далее Таким образом, в окончательном виде это уравнение будет иметь следующий вид: Так как $c$ — простой нуль функции $I(c)$, то $d I / d c Определив $M_{1}$ и $g_{2}$ согласно (5.24) и (5.25), мы обеспечим разрешимость уравнения (5.21): где $\varphi_{2}(\tau)$ — некоторая периодическая функция $\tau$ периода $2 \pi$. Постоянная $N_{2}$ определяется из условия Постоянная $M_{2}$ в этом приближении остается неопределенной. Если мы хотим построить решение, учитывающее второе приближение, то нужно рассмотрегь также и третье приближение ит. д. Легко видеть, что этот процесс можно неограниченно продолжить и вычислить любой член разложения (5.11). Заметим, что только на первом шаге нам приходится решать нелинейное уравнение $I(c)=0$, которое имеет, вообще говоря, произвольное количество решений. Но определив амплитуду порождающего решения, мы в дальнейшем имеем дело только с линейными уравнениями и все остальные искомые величины определятся однозначно. Заметим еще, что найденное решение удовлетворяет следующим начальным условиям: где $c$-это корень уравнения $I(c)=0$. Это решение при $\varepsilon=0$ переходит в решение уравнения определенное начальными условиями Ряды (5.11), как это показал Пуанкаре, сходятся для достаточно малых значений параметра $\varepsilon$.
|
1 |
Оглавление
|