Начнем изучение эффективных методов построения автоколебательных режимов с исследования квазилинейных уравнения вида
\[
\ddot{x}+\lambda^{2} x=\varepsilon F(x, \dot{x}) .
\]
С.ледует ожидать, что период автоколебательного режима зависит от параметра $\varepsilon$ :
\[
T=T(\varepsilon)=\frac{2 \pi}{\omega(\varepsilon)},
\]

причем $\omega(\varepsilon)$ условимся называть частотой. Будем искать режимы, частота которых обладгет следующим свойством:
\[
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \omega(\varepsilon)=\lambda .
\]

На этом основании положим
\[
\omega(\varepsilon)=\frac{\lambda}{1+g_{1} \varepsilon+g_{2} \varepsilon^{2}+\ldots}
\]

и сделаем замену независимого переменного
\[
t=\frac{\tau}{\lambda}\left(1+g_{1} \varepsilon+g_{2} \varepsilon^{2}+\ldots\right) .
\]

Значению $t=T$ отвечает значение $\tau=2 \pi$, т. е. период искомого решения относительно новой переменной теперь снова фиксирован – он равен $2 \pi$. Числа $g_{i}$ должны быть определены в процессе построения решения. Перепишем уравнение (5.6), сделав в нем замену (5.7):
\[
\frac{d^{2} x}{d \tau^{2}}+x\left(1+g_{1} \varepsilon+\ldots\right)^{2}=\varepsilon F\left(x, \frac{d x}{d \tau} \frac{\lambda}{1+g_{1} \varepsilon+\ldots}\right) \frac{\left(1+g_{1} \varepsilon+\ldots\right)^{2}}{\lambda^{2}} .
\]

Поскольку уравнения (5.6) и (5.9) не содержат времени и уравнение (5.9) инвариантно относительно преобразования $t \rightarrow t+h$, нам достаточно рассмотреть следующую задачу Коши:
\[
t=0: \quad x=x_{i}(\varepsilon), \quad \frac{d x}{d \tau}=0 .
\]

Заметим, что величина $x_{0}(\varepsilon)$ также заранее неизвестна. Итак, мы пришли к задаче отыскания числа $x_{0}(\varepsilon)$ и периодического решения уравнения (5.9) периода $2 \pi$, которое определяется этим числом. Решение такой задачи будем искать в виде ряда, расположенного по степеням параметра $\varepsilon$,
\[
x=x^{(0)}+\varepsilon x^{(1)}(\tau)+\varepsilon^{2} x^{(2)}(\tau)+\ldots
\]

Функции $x^{(i)}$ удовлетворяют следующим уравнениям:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x^{(0)}}{d \tau^{2}}+x^{(0)}=0 \\
\frac{d^{2} x^{(1)}}{d \tau^{2}}+x^{(1)}=F\left(x^{(0)}, \frac{d x^{(0)}}{d \tau} \lambda\right)-2 g_{1} x^{(0)} . \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . }
\end{array}
\]

Выпишем общее решение уравнения (5.12)
\[
x^{(0)}=c \cos \tau+d \sin \tau,
\]

но в силу (5.10) $d=0$, т. е.
\[
x^{(0)}=c \cos \tau .
\]

Величина $c$-амплитуда порождающего решения – нам неизвестна На этом шаге алгоритма она остается неопределенной. Рассмотрим теперь уравнение (5.13). Erо можно переписать в виде
\[
\frac{d^{2} x^{(1)}}{d \tau^{2}}+x^{(1)}=F^{(1)}-2 g_{1} c \cos \tau,
\]

где
\[
F^{(1)}=\frac{1}{\lambda^{2}} F(c \cos \tau,-\lambda c \sin \tau)
\]

является некоторой периодической функцией $\tau$ периода $2 \pi$. Для того чтобы уравнение (5.15) допускало периодические решения, необходима и достаточна ортогональность правой части этого уравнения функциям $\sin \tau$ и $\cos \tau$ :
\[
\begin{array}{c}
I(c) \equiv \int_{0}^{2 \pi} F(c \cos \tau,-\lambda c \sin \tau) \sin \tau d \tau=0, \\
g_{1}(c)=\frac{1}{2 \pi c \lambda^{2}} \int_{0}^{2 \pi} F(c \cos \tau,-\lambda c \sin \tau) \cos \tau d t .
\end{array}
\]

Первое из этих уравнений представляет собой некоторое трансцендентное уравнение для определения $c$-амплитуды порождающего решения. Уравнение (5.16) может вообще не иметь решений. Это будет в том случае, когда система (5.5) не допускает автоколебательных режимов, например в том случае, когда сила $F$ является диссипативной. Уравнение (5.16) может иметь конечное число решений, как это было в примере, рассмотренном в п. 1 этого параграфа. Уравнение (5.16) может оказаться тождеством, справедливым для любого значения $c$. Такая ситуация имеет место всякий раз, когда «возмущающая» функция $F$ является консервативной. В самом деле, пусть $F=F(x)$; тогда
\[
I(c)=\int_{0}^{2 \pi} F(c \cos \tau) \sin \tau d \tau .
\]

Функция $F(c \cos \tau)$ – четная периодическая функция $\tau$ периода $2 \pi$. Следовательно, она разлагается в ряд Фурье, содержащий только $\cos k \tau$ и, следовательно, в силу ортогональности $\sin \tau$ и $\cos k \tau$ для любого $k$
\[
I(c) \equiv 0 .
\]

Условимся в дальнейшем считать, что $c$ – это отличный от нуля корень уравнения (5.16) кратности единицы *). Тогда уравнение (5.17) определяет единственное значение $g_{1}(c)$. Таким образом, на этом шаге алгоритм позволяет определить амплитуду порождающего решения и первую поправку на частоту, т. е. полностью рассчитать нулевое приближение. Если ограничиться нулевым приближением, то мы получим приближенное решение в виде
\[
x^{(0)}=c \cos \frac{\lambda t}{1+g_{1} \varepsilon} .
\]
*) Могут быть рассмотрены и более общие случаи Однако при этом может оказаться, что решение нельзя представить в виде рядов (5.11): функция $x(c)$ должна быть представлена в виде ряда, расположенного по дробным степеням параметра $c$.

Вернемся теперь снова к уравнению (5.13). Определив $c$ и $g_{1}$ из уравнений (5.16) и (5.17), мы пришли к уравнению, в котором правая часть – это периодическая функция времени. Эта функция обладает тем свойством, что она не содержит первых членов разложения в ряд Фурье. Уравнение (5.13) теперь можно переписать в виде
\[
\frac{d^{2} x^{(1)}}{d \tau^{2}}+x^{(1)}=F_{00}+F_{02} \cos 2 \tau+F_{12} \sin 2 \tau+F_{13} \cos 3 \tau+\ldots,
\]

где $F_{i j}$ – некоторые известные числа.
Его решение имеет вид
\[
x^{(1)}=\varphi_{1}(\tau)+M_{1} \cos \tau+N_{1} \sin \tau,
\]

где $\varphi_{1}(\tau)$ – периодическая функция, разложение которой не содержит $\sin \tau$ и $\cos \tau$;
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{1}^{(\tau)}=F_{00}-\frac{F_{02}}{3} \cos 2 \tau-\frac{F_{12}}{3} \sin 2 \tau-\ldots-\frac{F_{0 n}}{n^{2}-1} \cos n \tau- \\
-\frac{F_{1 n}}{n^{2}-1} \sin n \tau-\ldots
\end{array}
\]

Функция $x^{(1)}$ удовлетворяет условию
\[
\left(\frac{d x^{(1)}}{d \tau}\right)_{\tau=0}=0,
\]

которое позволяет вычислить постоянную $N$
\[
N_{1}=\frac{2}{3} F_{12}+\frac{3}{8} F_{13}+\ldots+\frac{n}{n-1} F_{1 n}+\ldots
\]

Постоянная $M_{1}$ в этом приближении определена быть не может. Следовательно, для того чтобы определить решение с точностью до членов, содержащих $\varepsilon^{2}$, необходимо рассмотреть второе приближение.
Уравнение для $x^{(2)}$ имеет вид
\[
\frac{d^{2} x^{(2)}}{d \tau^{2}}+x^{(2)}=F^{(2)}-2 g_{2} \cos \tau,
\]

где
\[
F^{(2)}=-2 g_{1} x^{(1)}+\frac{1}{\lambda^{2}} \frac{\partial F}{\partial x} x^{(1)}+\frac{1}{\lambda} \frac{\partial F}{\partial x^{\prime}} \frac{d x^{(1)}}{d \tau}+F_{*}^{(2)},
\]

причем $F_{*}^{(2)}$ – функция, не содержащая величин $g_{2}$ и $x^{(1)}$
\[
F_{*}^{(2)}=-x^{0} g_{1}^{2}-\frac{1}{\lambda} \frac{\partial F}{\partial x^{\prime}} g_{1} \frac{\partial x^{(0)}}{\partial \tau}+\frac{1}{\lambda^{2}} F 2 g_{1} .
\]

Здесь $x^{\prime}$ означает производную по аргументу $\tau$. Функции $F$, $\partial F / \partial x$ и $\partial F / \partial x^{\prime}$ вычислены при $x=x^{(0)}$.

Преобразуем уравнение (5.21), заменив в нем величины $x^{(0)}$ и $x^{(1)}$ их выражениями (5.14) и (5.19):
\[
\begin{array}{c}
\frac{d^{2} x^{(2)}}{d \tau^{2}}+x^{(2)}=-2 g_{2} c \cos \tau-2 g_{1} M_{1} \cos \tau-2 g_{1} N_{1} \sin \tau+ \\
+\frac{1}{\lambda^{2}} \frac{\partial F}{\partial x}\left(M_{1} \cos \tau+N_{1} \sin \tau\right)+ \\
+\frac{1}{\lambda^{2}} \frac{\partial F}{\partial x^{\prime}}\left(-M_{1} \sin \tau+N_{1} \cos \tau\right)+F_{* *}^{(2)}
\end{array}
\]

где
\[
F_{\text {** }}^{(2)}=F_{2}^{(*)}-2 g_{1} \varphi_{1}+\frac{1}{\lambda^{2}} \frac{\partial F}{\partial x} \varphi_{1}+\frac{1}{\lambda} \frac{\partial F}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial \tau}
\]

является известной функцией времени. Заметим, что величина $N_{1}$, входящая в уравнение (5.22), также известна; она определяется формулой (5.20).

Выпишем теперь условия существования периодических решений. Их можно представить в следующем виде:
\[
\left.\begin{array}{r}
-2 g_{2}-2 g_{1} M_{1}+\frac{M_{1}}{\pi \lambda^{2}} \int_{0}^{2 \pi}\left(\frac{\partial F}{\partial x} \cos \tau-\lambda \frac{\partial F}{\partial x^{\prime}} \sin \tau\right) \cos \tau d \tau+ \\
+\frac{N_{1}}{\pi \lambda^{2}} \int^{2 \pi}\left(\frac{\partial F}{\partial x} \sin \tau+\lambda \frac{\partial F}{\partial x^{\prime}} \cos \tau\right) \cos \tau d \tau+ \\
+\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} F_{* *}^{(2)} \cos \tau d \tau=0 \\
-2 g_{1} N_{1}+\frac{M_{1}}{\pi \lambda^{2}} \int_{0}^{2 \pi}\left(\frac{\partial F}{\partial x} \cos \tau-\lambda \frac{\partial F}{\partial x^{\prime}} \sin \tau\right) \sin \tau d \tau+ \\
+\frac{N_{1}}{\pi \lambda^{2}} \int_{0}^{2 \pi}\left(\frac{\partial F}{\partial x} \sin \tau+\lambda \frac{\partial F}{\partial x} \cos \tau\right) \sin \tau d \tau+ \\
+\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} F_{* *}^{(2)} \sin \tau d \tau=0
\end{array}\right\}
\]

Преобразуем уравнения (5.23). Сначала рассмотрим второй интеграл, входящий в первое из этих уравнений, и проинтегрируем
его по частям:
\[
\begin{array}{c}
\frac{N_{1}}{\pi \lambda^{2}} \int_{0}^{2 \pi}\left(\frac{\partial F}{\partial x} \sin \tau+\lambda \frac{\partial F}{\partial x^{\prime}} \cos \tau\right) \cos \tau d \tau \equiv \\
\equiv \frac{N_{1}}{\pi \lambda^{2} c} \int_{0}^{2 \pi} \frac{d F(c \cos \tau,-\lambda c \sin \tau)}{d \tau} \cos \tau d \tau= \\
=-\frac{N_{1}}{\pi \lambda^{2} c} \int_{0}^{2 \pi} F(c \cos \tau,-\lambda c \sin \tau) \sin \tau d \tau=0,
\end{array}
\]

поскольку амплитуда $c$ является корнем уравнения (5.16). Преобразуем теперь первый из интегралов, входящих в это уравнение:
\[
I_{1}=\frac{M_{1}}{\pi \lambda^{2}} \int_{0}^{2 \pi}\left(\frac{\partial F}{\partial x} \cos \tau-\lambda \frac{\partial F}{\partial x^{\prime}} \sin \tau\right) \cos \tau d \tau .
\]

Для этого заметим сначала, что
\[
\frac{\partial F(c \cos \tau,-\lambda c \sin \tau)}{\partial c}=\frac{\partial F}{\partial x} \cos \tau-\lambda \frac{\partial F}{\partial x^{\prime}} \sin \tau,
\]
т. е. выражение $I_{1}$ можно переписать так:
\[
I_{1}=\frac{M_{1}}{\pi \lambda^{2}} \int_{0}^{2 \pi} \frac{\partial F}{\partial c} \cos \tau d \tau .
\]

Рассмотрим теперь равенство (5.17) и перепишем его в следующей форме:
\[
\frac{M_{1}}{\pi \lambda^{2}} \int_{0}^{2 \pi} F \cos \tau d \tau=2 g_{1} c M_{1} .
\]

Дифференцируя это выражение по $c$, получим
\[
I_{1}=2 g_{1} M_{1}+2 c M_{1} \frac{d g_{1}}{d c} .
\]

Таким образом, первое из уравнений (5.23) в окончательном виде будет иметь следующую форму:
\[
g_{2}=M_{1} \frac{d g_{1}}{d c}+\frac{1}{2 \pi c} \int_{0}^{2 \pi} F_{* *}^{(2)} \cos \tau d \tau .
\]

Преобразуем теперь второе уравнение (5.23). Прежде всего перепишем его в виде
\[
\begin{aligned}
-2 g_{1} N_{1}+\frac{M_{1}}{\pi \lambda^{2}} \int_{0}^{2 \pi} \frac{\partial F}{\partial c} \sin \tau d \tau-\frac{N_{1}}{c \pi \lambda^{2}} \int_{0}^{2 \pi} \frac{\partial F}{\partial \tau} & \sin \tau d \tau+ \\
& +\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} F_{* *}^{(2)} \sin \tau d \tau=0 .
\end{aligned}
\]

Используя (5.16), получим
\[
\int_{0}^{2 \pi} \frac{\partial F}{\partial c} \sin \tau d \tau=\frac{d I}{d c} .
\]

Далее
\[
\frac{1}{c \pi \lambda^{2}} \int_{0}^{2 \pi} \frac{\partial F}{\partial \tau} \sin \tau d \tau=\frac{-1}{c \pi \lambda^{2}} \int_{0}^{2 \pi} F \cos \tau d \tau=-2 g_{1} .
\]

Таким образом, в окончательном виде это уравнение будет иметь следующий вид:
\[
M_{1} \frac{1}{\lambda^{2}} \frac{d I}{d c}=-\int_{0}^{2 \pi} F_{* *}^{(2)} \sin \tau d \tau .
\]

Так как $c$ – простой нуль функции $I(c)$, то $d I / d c
eq 0$, и уравнение (5.21) определяет единственное значение $M_{1}$. После определения $M_{1}$ величина $g_{2}$ определяется также единственным образом по формуле (5.24).

Определив $M_{1}$ и $g_{2}$ согласно (5.24) и (5.25), мы обеспечим разрешимость уравнения (5.21):
\[
x^{(2)}=\varphi_{2}(\tau)+M_{2} \cos \tau+N_{2} \sin \tau,
\]

где $\varphi_{2}(\tau)$ – некоторая периодическая функция $\tau$ периода $2 \pi$. Постоянная $N_{2}$ определяется из условия
\[
\left(\frac{d x^{(2)}}{d \tau}\right)_{\tau=0}=0 .
\]

Постоянная $M_{2}$ в этом приближении остается неопределенной. Если мы хотим построить решение, учитывающее второе приближение, то нужно рассмотрегь также и третье приближение ит. д.

Легко видеть, что этот процесс можно неограниченно продолжить и вычислить любой член разложения (5.11). Заметим, что только на первом шаге нам приходится решать нелинейное уравнение $I(c)=0$, которое имеет, вообще говоря, произвольное количество решений. Но определив амплитуду порождающего решения, мы в дальнейшем имеем дело только с линейными уравнениями и все остальные искомые величины определятся однозначно. Заметим еще, что найденное решение удовлетворяет следующим начальным условиям:
\[
\frac{d x}{d t}=0, \quad x(0)=c+\varepsilon\left(\varphi_{1}(0)+M_{1}\right)+\varepsilon^{2}\left(\varphi_{2}(0)+M_{2}\right)+\ldots,
\]

где $c$-это корень уравнения $I(c)=0$. Это решение при $\varepsilon=0$ переходит в решение уравнения
\[
\ddot{x}+\lambda^{2} x=0,
\]

определенное начальными условиями
т. е. в решение
\[
\dot{x}_{0}=0, \quad x_{0}=c,
\]
\[
x=c \cos \lambda t \text {. }
\]

Ряды (5.11), как это показал Пуанкаре, сходятся для достаточно малых значений параметра $\varepsilon$.