Рассмотрим задачу о движении космического аппарата малой тяги, считая, что сила двигателя направлена по трансверсали, т. е. перпендикулярно радиусу-вектору космического аппарата, который считается материальной точкой. Будем считать, что движение аппарата происходит в поле одного притягивающего центра, т.е. единственной возмущающей силой является тяга двигателя. Система уравнений (8.2) будет в этих предположениях иметь следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d r}{d t}=v_{r}, \quad \frac{d \varphi}{d t}=\frac{v_{\varphi}}{r}, \\
\frac{d v_{r}}{d t}=\frac{v_{\varphi}^{2}}{r}-\frac{1}{r^{2}}, \quad \frac{d v_{\varphi}}{d t}=-\frac{v_{r} v_{\varphi}}{r}+\varepsilon f,
\end{array}\right\}
\]

где $f$ теперь обозначает величину «моторного ускорения»- отношение силы тяги двигателя к массе аппарата.

В этой задаче удобнее использовать оскулирующие элементы, отличные от тех, которые были введены в предыдущем разделе, и мы получим пример иной реализации процедуры осреднения. Проведем вычисления, следуя в основном монографии В. Н. Лебедева ${ }^{*}$ ).

В этой задаче мы приняли $\mu=1$, что всегда можно сделать выбором соответствующих масштабов.

В системе (8.19) перейдем к аргументу $\varphi$; тогда она примет следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d r}{d \varphi}=\frac{v_{r} r}{v_{\varphi}}, \quad \frac{d v_{r}}{d \varphi}=v_{\varphi}-\frac{1}{r v_{\varphi}}, \\
\frac{d v_{\varphi}}{d \varphi}=-v_{r}+\varepsilon \frac{r f}{v_{\varphi}}, \quad \frac{d t}{d \varphi}=\frac{r}{v_{\varphi}} .
\end{array}\right\}
\]

Вместо $r, v_{r}$ и $v_{\varphi}$ введем новые зависимые переменные
\[
\left.\begin{array}{l}
A=\frac{r}{2-r\left(v_{r}^{2}+v_{\varphi}^{2}\right)}, \\
\alpha=r v_{\varphi}\left(v_{\varphi} \cos \varphi+v_{r} \sin \varphi\right)-\cos \varphi, \\
\beta=r v_{\varphi}\left(v_{\varphi} \sin \varphi-v_{r} \cos \varphi\right)-\sin \varphi .
\end{array}\right\}
\]

Введенные переменные имеют определенный физический смысл. Қак показывается в курсах небесной механики, $A$ – отношение большой полуоси оскулирующего эллипса к его начальному значению, $\alpha$ и $\beta$ – это компоненты вектора Лапласа, весьма
*) В. Н. Лебедев, Расчет движения космического аппарата с малой тягой, Изд. ВЦ АН СССР, 1967.

просто связанные с величиной эксцентриситета, причем для эллиптического движения $\alpha^{2}+\beta^{2}<1$. Если величины $A, \alpha$ и $\beta$ заданы, то радиус-вектор и величины скоростей легко определяются по следующим формулам:
\[
\left.\begin{array}{rl}
v_{r} & =\sqrt{\frac{(\alpha \sin \varphi-\beta \cos \varphi)^{2}}{A\left(1-\alpha^{2}-\beta^{2}\right)}}, \\
v_{\varphi} & =\sqrt{\frac{(\alpha \cos \varphi+\beta \sin \varphi+1)^{2}}{A\left(1-\alpha^{2}-\beta^{2}\right)}} \\
r & =A \frac{1-\alpha^{2}-\beta^{2}}{\alpha \cos \varphi+\beta \sin \varphi+1}
\end{array}\right\}
\]

Формулы (8.22) легко выводятся из формул (8.21). Вычислим производные $A, \alpha$ и $\beta$ в силу уравнений (8.20)
\[
\begin{aligned}
\frac{d A}{d \varphi}=\frac{\frac{d r}{d \varphi}\left[2-r\left(v_{r}^{2}+v_{\varphi}^{2}\right)\right]+r\left[\frac{d r}{d \varphi}\left(v_{r}^{2}+v_{\varphi}^{2}\right)+2 r\left(v_{r} \frac{d v_{r}}{d \varphi}+v_{\varphi} \frac{d v_{\varphi}}{d \varphi}\right)\right]}{\left[2-r\left(v_{t}^{2}+v_{\varphi}^{2}\right)\right]^{2}}= \\
=\frac{2 \frac{d r}{d \varphi}+2 r^{2}\left(v_{r} \frac{d v_{r}}{d \varphi}+v_{\varphi} \frac{d v_{\varphi}}{d \varphi}\right)}{\left[2-r\left(v_{r}^{2}+v_{\varphi}^{2}\right)\right]^{2}} .
\end{aligned}
\]

Подставляя значения производных из (8.20), получим
\[
\frac{d A}{d \varphi}=\varepsilon \frac{2 r^{3} \hat{f}}{\left[2-r\left(v_{r}^{2}+v_{\varphi}^{2}\right)\right]^{2}} .
\]

Далее, первая из формул (8.21) может быть переписана в виде
\[
2-r\left(v_{r}^{2}+v_{\varphi}^{2}\right)=\frac{r}{A} .
\]

Поэтому
\[
\frac{d A}{d \varphi}=2 \varepsilon r A^{2} f .
\]

Заменяя, наконец, величину $r$ по первой из формул (8.22), получим окончательно
\[
\frac{d A}{d \varphi}=\varepsilon \frac{2 f\left(1-\alpha^{2}-\beta^{2}\right) A^{3}}{1+\alpha \cos \varphi+\beta \sin \varphi} .
\]

Аналогично составляются выражения для $d \alpha / d \varphi$ и $d \beta / d \varphi$
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d \alpha}{d \varphi}=\varepsilon \frac{f\left(1-\alpha^{2}-\beta^{2}\right)^{2}\left(2 \cos \varphi+\alpha \cos ^{2} \varphi+\beta \sin \varphi \cos \varphi+\alpha\right) A^{2}}{(1+\alpha \cos \varphi+\beta \sin \varphi)^{3}}, \\
\frac{d \beta}{d \varphi}=\varepsilon \frac{f\left(1-\alpha^{2}-\beta^{2}\right)^{2}\left(2 \sin \varphi+\beta \sin ^{2} \varphi+\alpha \sin \varphi \cos \varphi+\beta\right) A^{2}}{(1+\alpha \cos \varphi+\beta \sin \varphi)^{3}} .
\end{array}\right\}
\]

Система (8.23), (8.23′) содержит три медленные переменные $A, \alpha$ и $\beta$ и одну быструю $\varphi$.

Составим для этой системы уравнения первого приближения
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d A}{d \varphi}=\varepsilon \frac{f A^{3}\left(1-\alpha^{2}-\beta^{2}\right)}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \frac{d \varphi}{1+\alpha \cos \varphi+\beta \sin \varphi}, \\
\frac{d \alpha}{d \varphi}=\varepsilon \frac{f A^{2}\left(1-\alpha^{2}-\beta^{2}\right)}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \frac{2 \cos \varphi+\alpha \cos ^{2} \varphi+\beta \sin \varphi \cos \varphi+\alpha}{(1+\alpha \cos \varphi+\beta \sin \varphi)^{3}} d \varphi, \\
\frac{d \beta}{d \varphi}=\varepsilon \frac{f A^{2}\left(1-\alpha^{2}-\beta^{2}\right)}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \frac{2 \sin \varphi+\beta \sin ^{2} \varphi+\alpha \sin \varphi \cos \varphi+\beta}{(1+\alpha \cos \varphi+\beta \sin \beta)^{3}} .
\end{array}\right\}
\]

Усреднение здесь законно, если функция $f$– величина постоянная или не зависит от $\varphi$. Оно остается законным также и в том случае, если $f$ – медленно меняющаяся функция полярного угла. Дело обстоит сложнее, если величина тяги задана как медленно изменяющаяся функция времени. В этом случае мы должны еще привлечь последнее из уравнений системы (8.20). Система уравнений, полученная при таком предположении, окажется уже значительно более сложной, поскольку время $t$ относится к числу быстрых переменных. Таким образом, окажется, что система уравнений содержит две быстрые переменные $t$ и $\varphi$.

Рассмотрим только тот случай, когда $f$ постоянна. Интегралы в правой части системы (8.24) относятся к числу табличных и вычисляются в явном виде. Опуская выкладки, выпишем окончательный результат:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d A}{d \varphi}=2 \varepsilon f A^{3} \sqrt{1-\alpha^{2}-\beta^{2}}, \\
\frac{d \alpha}{d \varphi}=-\frac{3}{2} \varepsilon f A^{2} \sqrt{1-\alpha^{2}-\beta^{2}} \cdot \alpha, \\
\frac{d \beta}{d \varphi}=-\frac{3}{2} \varepsilon f A^{2} \sqrt{1-\alpha^{2}-\beta^{2}} \cdot \beta .
\end{array}\right\}
\]

Численное интегрирование этой системы не представляет никакого труда и может быть выполнено с большим шагом по аргументу $\varphi$. Изучим некоторые свойства решений системы (8.25). Заметим прежде всего, что эта система уравнений допускает два первых интеграла. В самом деле, переходя к аргументу $A$, мы получим следующие два уравнения, которые не содержат возмущающей силы $f$ :
\[
\frac{d \alpha}{d A}=-\frac{3}{4} \frac{\alpha}{A}, \quad \frac{d \beta}{d A}=-\frac{3}{4} \frac{\beta}{A} .
\]

Эти уравнения легко интегрируются, и мы находим два первых интеграла
\[
\alpha=\alpha_{0} A^{-3 / 4}, \quad \beta=\beta_{0} A^{-3 / 4},
\]

где $\alpha_{0}$ и $\beta_{0}$ – начальные значения величин $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Используя эти формулы, мы легко сведем интегрирование системы (8.25) к интегрированию нелинейного уравнения первого порядка
\[
\frac{d A}{d \varphi}=2 \varepsilon f A^{3} \sqrt{1-\left(\alpha_{0}^{2}+\beta_{0}^{2}\right) A^{-3 / 2}} .
\]

Если функция $f$ постоянна или является функцией только полярного угла $\varphi$, то в уравнении (8.27) переменные разделяются и задача сводится к квадратурам.

Рассмотрим подробнее один частный случай. Предположим, что $\alpha_{0}=\beta_{0}=0$. Тогда, как это следует из (8.26), тождественно для любого $\varphi$.
\[
\alpha \equiv \beta \equiv 0 .
\]

Физическое содержание этого факта следующее. Если $\alpha=$ $=\beta=0$, то это означает, что эксцентриситет $e=0$, т. е. движение происходит по круговой орбите. Таким образом, если старт аппарата происходит с круговой орбиты, т. е. если $\alpha_{0}=\beta_{0}=0$, то и в течение всего времени движения аппарата под действием трансверсальной тяги будут происходить по круговой орбите.

Этот вывод сделан на основе исследования уравнений первого приближения. Следовательно, мы можем говорить только о том, что в течение относительно большого промежутка времени порядка $1 / \varepsilon$ оскулирующая орбита аппарата будет близка к круговой.
Уравнение (8:27) в этом случае примет вид
\[
\frac{d A}{d \varphi}=2 \varepsilon f A^{3} .
\]

Если $f$-величина постоянная, то уравнение интегрируется в явном виде
\[
A=\frac{1}{\sqrt{1-\varepsilon f \varphi}} .
\]

Заметим, что при $e=0$ величина большой полуоси оскулирующей орбиты аппарата – это просто радиус-вектор аппарата. Таким образом, формула (8.29) дает закон изменения радиусавектора (рис. 33). При $\varphi=\varphi^{*}$, где
\[
\varphi^{*}=\frac{1}{8 f},
\]

радиус-вектор обращается в бесконечность. Эта формула перестает быть справедливой при $\varphi \rightarrow \varphi^{*}$. Заметим прежде всего, что $\varphi^{*}$ достаточно велико (порядка $1 / \varepsilon$ ), а вся теория осреднения имеет смысл только на интервалах изменения независимого переменного порядка $1 / \varepsilon$. Таким образом, условие $\varphi=\varphi^{*}$ означает только то, что мы подходим к границе допустимого интервала, и, следовательно, теория в окрестности $\varphi=\varphi^{*}$ теряет смысл. Легко понять также и физическое содержание этого факта. С увеличением радиуса орбиты время полного оборота непрерывно возрастает и, следовательно, те величины, которые за один обход окружности малого радиуса не успели значительно измениться, сильно изменяются при обходе орбиты большого радиуса.

Формула (8.29) дает зависимость $A(\varphi)$. Представляет определенный интерес найти также зави-

Рис. 33. симость $A(t)$. Для этого вернемся сначала к формулам (8.22). При $\alpha=\beta=0$ мы имеем
\[
r=A, \quad v_{\varphi}=A^{-1 / 2}, \quad v_{r}=0 .
\]

Используя (8.30), можно переписать последнее из уравнений системы (8.20) в виде
\[
\frac{d t}{d \varphi}=A^{3 / 2} .
\]

Для того чтобы получить интересующую нас зависимость, следует исключить из уравнений (8.28) и (8.30) переменную $\varphi$
\[
\frac{d A}{d t}=2 \varepsilon f A^{3 / 2},
\]

откуда при постоянном $f$ получаем
\[
A=\frac{1}{(1-e f t)^{2}} .
\]

Разумеется, качественный характер полученной зависимости такой же, как и той, которая дается формулой (8.29).