В этом параграфе будет изучен класс систем, называемых системами Ляпунова. Они обладают многими свойствами консервативных систем, Рис. 12. которые являются их весьма частным случаем. Так же как и консервативные системы, в окрестности положения равновесия при известных условиях они описывают периодические движения.

Для этих систем А. М. Ляпуновым разработан эффективный аналитический метод отыскания периодических движений.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d \xi}{d t}=a_{11} \xi+a_{22} \eta+X^{*}(\xi, \eta), \\
\frac{d \eta}{d t}=a_{21} \xi+a_{22} \eta+Y^{*}(\xi, \eta),
\end{array}\right\}
\]

где $X^{*}(\xi, \eta)$ и $Y^{*}(\xi, \eta)$ – аналитические функции своих переменных в окрестности точки $\xi=\eta=0$ и такие, что их разложение по степеням $\xi$ и $\eta$ начинается с членов, порядок которых не ниже второго:
\[
\left.\begin{array}{l}
X^{*}(\xi, \eta)=b_{20} \xi^{2}+b_{02} \eta^{2}+b_{11} \xi \eta+b_{30} \xi^{3}+\ldots, \\
Y^{*}(\xi, \eta)=d_{20} \xi^{2}+d_{02} \eta^{2}+d_{11} \xi \eta+d_{30} \xi^{3}+\ldots
\end{array}\right\}
\]

Систему (1.1) будем называть системой Ляпунова, если выполнены следующие два условия:
a) уравнение
\[
\left|\begin{array}{ll}
a_{11}-\gamma & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}-\gamma
\end{array}\right|=0
\]

имеет чисто мнимые корни $\pm i \lambda$;
б) система (1.1) допускает аналитический первый интеграл
\[
H(\xi, \eta)=\text { const, }
\]

разложение которого по степеням переменных $\xi$ и $\eta$ начинается с членов второго порядка малости, т.е. функция $H$ в окрестности точки $\xi=\eta=0$ является аналитической функцией своих переменных и представима в следующем виде:
\[
H=a_{0}^{*}+a_{20}^{*} \xi^{2}+a_{02}^{*} \eta^{2}+a_{11}^{*} \xi \eta+\ldots
\]

Система Ляпунова как частный случай содержит консервативные системы. Например, уравнение
\[
\ddot{z}+f(z)=0,
\]

где $f(z)=\omega^{2} z+a_{2} z^{2}+\ldots$ заменой $\xi=-\omega \eta, \quad z=\xi$ приводится к виду (1.1)
\[
\begin{array}{l}
\xi=-\omega \eta, \\
\dot{\eta}=\omega \xi+\frac{a_{2}}{\omega} \xi^{2}+\ldots
\end{array}
\]

Если функция $f(z)$ аналитическая, то интеграл энергии и будет аналитическим интегралом (1.4).

Однако к числу систем Ляпунова относятся также многие встречающиеся в технике и физике неконсервативные системы. В одном из следующих параграфов мы рассмотрим пример системы Ляпунова, не являющейся консервативной.