Главная > АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ (Н. Н.МОИСЕЕВ)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Рассмотрим уравнение
x¨+f(x)=0,

в котором функция f удовлетворяет условиям
f(0)=0 и (dfdx)x=0>0.

Уравнение (5.1) описывает движение некоторой консервативной системы с одной степенью свободы. В малой окрестности положения равновесия ( x=x˙=0 ) уравнение (5.1) определяет колебательные движения, которые происходят с постоянной амплитудой. Фазовая плоскость этого уравнения в окрестности этой точки целиком заполнена замкнутыми кривыми. Будем называть некоторую силу φ(x˙), зависящую только от скорости, диссипативной, если для любого x˙eq0 она удовлетворяет условию
φ(x˙)x˙<0.

Предположим теперь, что колебания маятника происходят под действием консервативной силы — f(x) и диссипативной силы
Рис. 14. εφ(x˙), где ε — некоторый малый параметр
x¨+f(x)=εφ(x˙).

Если теперь умножить (5.3) на x˙, то оно примет вид
dEdt=εφ(x˙)x˙,

где E — полная энергия маятника
E=x˙22+f(x)dx.

Так как имеет место неравенство (5.2), то в любой момент времени
dEdt0,

причем равенство имеет место только для тех значений t, для которых x˙=0. Таким образом, колебания, происходящие под действием консервативной и диссипативной силы затухают. Рассмотрим фазовую плоскость уравнения (5.3).

Пусть в некоторый момент времени t=t0 система находится в состоянии x˙=0,x˙=x˙0>0. Начальное значение энергии будет E0=x˙02/2. По прошествии некоторого времени изображающая точка, двигаясь вдоль фазовой траектории, совершит полный оборот вокруг начала координат и снова пересечет ось ординат в некоторой точке x˙1, причем E1<E0. Следовательно, x˙1<x˙0. Заметим еще, что две фазовые траектории не могут пересекаться через каждую точку фазовой плоскости, которая не является особой, проходит только одна фазовая траектория. Система (5.3) имеет только одну особую точку — начало координат. Таким образом, фазовый портрет уравнения (5.3) имеет вид, изображенный на рис. 14. Начало координат является особой точкой типа фокус. Изображающая точка движется в направлении, указанном стрелкой. Фазовые траектории наматываются на фокус. Следовательно, в рассматриваемом случае фокус будет устойчивой особой точкой.

Рассмотрим теперь несколько более сложный пример. Условимся дополнительно, что |φ(x˙)| — монотонно возрастающая функция (рис. 15), и предположим, что на точку действует некоторая активная сила ψ(x,x˙), причем ψ(0,0)=0. Пусть эта сила обладает тем свойством, что за каждый период колебаний она вносит в систему некоторую порцию энергии. Таким образом, при отсутствии диссипативной силы энергия в системе все
Рис. 15.
Рис. 16.

время возрастала бы и, следозательно, никакие стационарные режимы, кроме состояния покоя, в ней были бы невозможны.

Попробуем теперь представить себе характер колебаний в такой системе:
x¨+f(x)=ε[φ(x˙)+ψ(x,x˙)],

предполагая, что сила ψ тем сильнее «раскачивает» маятник, чем ближе его состояние к положению равновесия, т. е. чем меньше амплитуда x. На рис. 16 изображена зависимость порции энергии ΔE, поступающей в систему за один период, от амплитуды колебаний.

Таким образом, колебание происходит под действием сил, одна из которых является консервативной, вторая диссипативная — она рассеивает энергии за один период тем больше, чем больше амплитуда, и третья, которая вносит тем больше энергии в систему, чем меньше амплитуда.

Положение равновесия этой системы находится в точке (x˙,0), где x — корень уравнения,
f(x)=εψ(x,0),

и пусть вначале изображающая точка находится вблизи положения равновесия. В этом случае энергия, которая рассеивается за один оборот, будет меньше энергии, которая поступает в систему. Следовательно, в непосредственной близости положения равновесия амплитуда колебаний c будет увеличиваться,

Предположим теперь, что в начальный момент изображающая точка находится достаточно далеко от начала координат. Тогда за один оборот будет рассеиваться энергии больше, чем поступать в систему. В этом случае амплитуда c будет уменьшаться.

Таким образом, если начальная амплитуда колебаний большая, то колебания затухают, т. е. амплитуда убывает, а если величина амплитуды малая, то она с течением времени возрастает. Это дает основание думать, что в системе может устано-
Рис. 17. виться такой режим колебаний (с такой постоянной амплитудой c), при котором энергия, поступившая в систему за одно колебание, будет равна энергии, которая за это же время рассеивается диссипативной силой. Этот режим называется автоколебательным. На фазовой плоскости ему соответствует некоторая замкнутая кривая, называемая предельным циклом. Фазовая плоскость автоколебательной системы (5.4) изображена на рис. 17. Стрелка показывает направление движения изображающей точки. Положение равновесия будет неустойчивым фокусом. Фазовые траектории будут сматываться с фокуса и наматываться изнутри на предельный цикл. Траектории, которые находятся вне предельного цикла, также будут наматываться (извне) на предельный цикл. Таким образом, автоколебательный режим в рассматриваемом случае будет устойчивым.

1
Оглавление
email@scask.ru