Рассмотрим уравнение
\[
\ddot{x}+f(x)=0,
\]
в котором функция $f$ удовлетворяет условиям
\[
f(0)=0 \text { и }\left(\frac{d f}{d x}\right)_{x=0}>0 .
\]
Уравнение (5.1) описывает движение некоторой консервативной системы с одной степенью свободы. В малой окрестности положения равновесия ( $x=\dot{x}=0$ ) уравнение (5.1) определяет колебательные движения, которые происходят с постоянной амплитудой. Фазовая плоскость этого уравнения в окрестности этой точки целиком заполнена замкнутыми кривыми. Будем называть некоторую силу $\varphi(\dot{x})$, зависящую только от скорости, диссипативной, если для любого $\dot{x}
eq 0$ она удовлетворяет условию
\[
\varphi(\dot{x}) \dot{x}<0 .
\]
Предположим теперь, что колебания маятника происходят под действием консервативной силы – $f(x)$ и диссипативной силы
Рис. 14. $\varepsilon \varphi(\dot{x})$, где $\varepsilon$ – некоторый малый параметр
\[
\ddot{x}+f(x)=\varepsilon \varphi(\dot{x}) .
\]
Если теперь умножить (5.3) на $\dot{x}$, то оно примет вид
\[
\frac{d E}{d t}=\varepsilon \varphi(\dot{x}) \dot{x},
\]
где $E$ – полная энергия маятника
\[
E=\frac{\dot{x}^{2}}{2}+\int f(x) d x .
\]
Так как имеет место неравенство (5.2), то в любой момент времени
\[
\frac{d E}{d t} \leqslant 0,
\]
причем равенство имеет место только для тех значений $t$, для которых $\dot{x}=0$. Таким образом, колебания, происходящие под действием консервативной и диссипативной силы затухают. Рассмотрим фазовую плоскость уравнения (5.3).
Пусть в некоторый момент времени $t=t_{0}$ система находится в состоянии $\dot{x}=0, \dot{x}=\dot{x}_{0}>0$. Начальное значение энергии будет $E_{0}=\dot{x}_{0}^{2} / 2$. По прошествии некоторого времени изображающая точка, двигаясь вдоль фазовой траектории, совершит полный оборот вокруг начала координат и снова пересечет ось ординат в некоторой точке $\dot{x}_{1}$, причем $E_{1}<E_{0}$. Следовательно, $\dot{x}_{1}<\dot{x}_{0}$. Заметим еще, что две фазовые траектории не могут пересекаться через каждую точку фазовой плоскости, которая не является особой, проходит только одна фазовая траектория. Система (5.3) имеет только одну особую точку – начало координат. Таким образом, фазовый портрет уравнения (5.3) имеет вид, изображенный на рис. 14. Начало координат является особой точкой типа фокус. Изображающая точка движется в направлении, указанном стрелкой. Фазовые траектории наматываются на фокус. Следовательно, в рассматриваемом случае фокус будет устойчивой особой точкой.
Рассмотрим теперь несколько более сложный пример. Условимся дополнительно, что $|\varphi(\dot{x})|$ – монотонно возрастающая функция (рис. 15), и предположим, что на точку действует некоторая активная сила $\psi(x, \dot{x})$, причем $\psi(0,0)=0$. Пусть эта сила обладает тем свойством, что за каждый период колебаний она вносит в систему некоторую порцию энергии. Таким образом, при отсутствии диссипативной силы энергия в системе все
Рис. 15.
Рис. 16.
время возрастала бы и, следозательно, никакие стационарные режимы, кроме состояния покоя, в ней были бы невозможны.
Попробуем теперь представить себе характер колебаний в такой системе:
\[
\ddot{x}+f(x)=\varepsilon[\varphi(\dot{x})+\psi(x, \dot{x})],
\]
предполагая, что сила $\psi$ тем сильнее «раскачивает» маятник, чем ближе его состояние к положению равновесия, т. е. чем меньше амплитуда $x$. На рис. 16 изображена зависимость порции энергии $\Delta E$, поступающей в систему за один период, от амплитуды колебаний.
Таким образом, колебание происходит под действием сил, одна из которых является консервативной, вторая диссипативная – она рассеивает энергии за один период тем больше, чем больше амплитуда, и третья, которая вносит тем больше энергии в систему, чем меньше амплитуда.
Положение равновесия этой системы находится в точке $\left(\dot{x}^{*}, 0\right)$, где $x^{*}$ – корень уравнения,
\[
f\left(x^{*}\right)=\varepsilon \psi\left(x^{*}, 0\right),
\]
и пусть вначале изображающая точка находится вблизи положения равновесия. В этом случае энергия, которая рассеивается за один оборот, будет меньше энергии, которая поступает в систему. Следовательно, в непосредственной близости положения равновесия амплитуда колебаний $c$ будет увеличиваться,
Предположим теперь, что в начальный момент изображающая точка находится достаточно далеко от начала координат. Тогда за один оборот будет рассеиваться энергии больше, чем поступать в систему. В этом случае амплитуда $c$ будет уменьшаться.
Таким образом, если начальная амплитуда колебаний большая, то колебания затухают, т. е. амплитуда убывает, а если величина амплитуды малая, то она с течением времени возрастает. Это дает основание думать, что в системе может устано-
Рис. 17. виться такой режим колебаний (с такой постоянной амплитудой $\left.c^{*}\right)$, при котором энергия, поступившая в систему за одно колебание, будет равна энергии, которая за это же время рассеивается диссипативной силой. Этот режим называется автоколебательным. На фазовой плоскости ему соответствует некоторая замкнутая кривая, называемая предельным циклом. Фазовая плоскость автоколебательной системы (5.4) изображена на рис. 17. Стрелка показывает направление движения изображающей точки. Положение равновесия будет неустойчивым фокусом. Фазовые траектории будут сматываться с фокуса и наматываться изнутри на предельный цикл. Траектории, которые находятся вне предельного цикла, также будут наматываться (извне) на предельный цикл. Таким образом, автоколебательный режим в рассматриваемом случае будет устойчивым.
