Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Помимо изложенного, существуют различные другие модификации методов построения асимптотических раз. ложений решений дифференциальных уравнений, содержащих большой параметр. Рассмотрим одну из таких модификаций на примере системы первого ранга
\[
\begin{array}{l}
\dot{y}_{1}+\left(\lambda a_{11}^{(1)}+a_{11}^{(0)}+\ldots\right) y_{1}+\left(\lambda a_{12}^{(1)}+a_{12}^{(0)}+\ldots\right) y_{2}=0, \\
\dot{y}_{2}+\left(\lambda a_{21}^{(1)}+a_{21}^{(0)}+\ldots\right) y_{1}+\left(\lambda a_{22}^{(1)}+a_{22}^{(0)}+\ldots\right) y_{2}=0 .
\end{array}
\]
Обозначим через $\mu(t)$ какой-либо из корней характеристического уравнения и решение будем искать в форме
\[
\left.\begin{array}{l}
y_{1}=\exp \left\{\int_{0}^{t}\left(\lambda \mu+\mu_{0}+\lambda^{-1} \mu_{1}+\ldots\right) d t\right\} z_{1}(t, \lambda), \\
y_{2}=\exp \left\{\int_{0}^{t}\left(\lambda \mu+\mu_{0}+\lambda^{-1} \mu_{1}+\ldots\right) d t\right\} z_{2}(t, \lambda),
\end{array}\right\}
\]
где функции $z_{i}(t, \lambda)$ задаются в виде рядов (2.11).
Уравнения первого приближения будут такими:
\[
\left.\begin{array}{l}
\left(a_{11}^{(1)}+\mu\right) z_{1}^{(0)}+a_{12}^{(1)} z_{2}^{(0)}=0 \\
a_{21}^{(1)} z_{1}^{(0)}+\left(a_{22}^{(1)}+\mu\right) z_{2}^{(0)}=0
\end{array}\right\}
\]
Функция $z_{1}^{(0)}(t)$ и $z_{2}^{(0)}(t) \quad$ связаны друг с другом соотношением (2.29). Для того чтобы удовлетворить системе (2.44), мы можем совершенно произвольно задать сдну из функций. Например, системе (2.44) удовлетворяют следующие функции:
\[
z_{1}^{(0)}(t)=a_{22}^{(1)}+\mu, \quad z_{2}^{(0)}=-a_{21}^{(1)} .
\]
Рассмотрим теперь систему уравнений второго приближения
\[
\left.\begin{array}{l}
\left(a_{11}^{(1)}+\mu\right) z_{1}^{(1)}+a_{12}^{(1)} z_{2}^{(1)}=-\left\{\frac{d z_{1}^{(0)}}{d t}+\left(a_{11}^{(0)}+\mu_{1}\right) z_{1}^{(0)}+a_{12}^{(0)} z_{2}^{(0)}\right\}, \\
a_{21}^{(1)} z_{2}^{(1)}+\left(a_{22}^{(1)}+\mu\right) z_{2}^{(1)}=-\left\{\frac{d z_{2}^{(0)}}{d t}+a_{21}^{(0)} z_{1}^{(0)}+\left(a_{22}^{(0)}+\mu_{1}\right) z_{2}^{(0)}\right\} .
\end{array}\right\}
\]
Условие разрешимости системы (2.46) нам даст уравнение для определения функции $\mu_{1}$, поскольку функции $z_{1}^{(0)}(t)$ и $z_{2}^{(0)}(t)$ уже подобраны при помощи соотношения (2.45).
Так как функцию $\mu_{1}(t)$ мы выбрали так, чтобы система (2.45) была разрешима, то, задав одну из функций $z_{1}^{(1)}(t)$ или $z_{2}^{(1)}(t)$ по произволу, однозначно определяем другую функцию по формуле (2.29).
Рассуждая подобным образом, мы убеждаемся в возможности определить все члены разложений (2.43): из третьего приближения мы находим функцию $\mu_{2}(t)$ (она будет однозначно определена функциями $z_{1}^{(0)}, z_{2}^{(0)}, z_{1}^{(1)}$ и $z_{2}^{(1)}$, и затем можно вычислить функции $z_{1}^{(2)}$ и $z_{2}^{(2)}$, одна из которых задается по произволу и т. д.
Изложенный способ построения асимптотических рядов приводит в общем случае к другому выражению для приближенного решения. Это отражает тот общий факт, что асимптотические представления определяются не единственным образом. Однако одинаковые отрезки асимптотических рядов обеспечивают одну и ту же точность.
В § 1 этой главы мы вывели простейшие приближенные формулы и установили для некоторых частных случаев их асимптотический характер: было показано, что ошибка, которую они дают, имеет порядок $O(1 / \lambda)$. В этом параграфе мы дали формальное описание алгоритма, позволяющего построить любое $\lambda^{p}$ асимптотическое решение. Доказательство теоремы, которая обосновывает асимптотический характер построенных рядов, можно найти в известной монографии Я. Д. Тамаркина, цитированной на стр. 279.
