Плоские колебания оперенной ракеты около своего ценгра тяжести с определенной степенью точности можно схематизировать как колебание маят-
Рис. 11. ника, происходящее под действием двух аэродинамических моментов: восстанавливающего $M_{1}$ и демпфирующего $M_{2}$ (рис. 11). Момент $M_{1}$ всегда направлен так, что создаваемое им ускорение стремится вернуть ракету в положение равновесия, при котором ее ось симметрии совпадает с направлением скорости центра тяжести $\boldsymbol{v}$ :
\[
M_{1}=-k_{1} x .
\]

Действие демпфирующего момента $M_{2}$ уменьшает скорость колебательного движения
\[
M_{2}=-k_{2} \dot{x} .
\]

Таким образом, малые колебания ракеты, центр тяжести которой движется прямолинейно, можно описать уравнением
\[
J \ddot{x}=-k_{2} \dot{x}-k_{1} x .
\]

Величина $x$ в выражениях (4.7) и (4.9), характеризующая отклонение ракеты от ее положения равновесия, называется углом атаки. Коэффициенты $k_{1}$ и $k_{2}$ зависят от конструктивных параметров ракеты, ее скорости движения и линейным образом от плотности атмосферы $\rho$. (Заметим, что гипотеза прямолинейного движения центра тяжести ракеты оказывается справедливой в случае вертикального взлета ракеты.)

Условимся, кроме того, считать, что центр тяжести ракеты движется с постоянной скоростью. Гогда все параметры, кроме плотности атмосферы, оказываются постоянными, а плотность экспоненциальной функцией высоты (а следовательно, и времени, поскольку скорость вертикального взлета постоянна). На этом основании формулы (4.7) и (4.9) можно переписать в следующем виде:
\[
M_{1}=-J b^{2} e^{-\alpha t} x, \quad M_{2}=-J a e^{-\alpha t} \dot{x},
\]

где размерные величины $a$ и $b^{2}$ считаются постоянными, $J$ – момент инерции ракеты – также условимся считать величиной постоянной. Итак, в простейшей схематизации колебательного движения оперенной ракеты мы пришли к исследованию следующего дифференциального уравнения второго порядка:
\[
\ddot{x}+a e^{-\alpha t} \dot{x}+b^{2} e^{-\alpha t} x=0 .
\]

Так как в данном случае
\[
\omega=b e^{-\frac{1}{2} \alpha t}, \quad g=a e^{-a t},
\]

то левая часть неравенства (4.6) имеет в рассматриваемом случае следующий вид:
\[
-\frac{1}{2} \alpha+a e^{-\alpha t} \text {. }
\]

Начиная с некоторого момента времени $t^{*}=-\frac{1}{\alpha} \ln \frac{\alpha}{2 a}$ выражение (4.10) всегда становится отрицательным. Таким образом, в этом случае достаточное усл:овие устойчивости оказывается невыполненным.