Этот случай имеет некоторые особенности, поскольку при $s>2$ асимптотические разложения содержат «вековые» слагаемые. Рассмотрим для определенности тот случай, когда $a_{m 3}
eq 0$.
Разрешающее уравнение будет таким:
\[
\varphi_{0}^{2}\left(\varphi_{0}^{m-2}-a_{m 3}\right)=0 .
\]

Уравнение $\left(8.29^{\prime}\right)$ имеет $m-2$ различных корня, соответствующих значениям корня $\sqrt[m-2]{a_{m 3}(t)}$, В этом случае вместо уравнений (8.27) получим
\[
\left.\begin{array}{c}
k_{1}-k_{2}=1-k, \\
k_{2}-k_{3}=1-k, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
k_{m}-k_{3}=-k,
\end{array}\right\}
\]

откуда
\[
k=\frac{m-3}{m-2}, \quad k_{1}=1, \quad k_{2}=-\frac{1}{m-2}, \ldots, \quad k_{m}=-\frac{m-1}{m-2} .
\]

Теперь $m-2$ — решения, отвечающие ненулевым корням, разрешающего уравнения (8.29′), мы можем получить стандартной процедурой, описанной в этом параграфе.

Для того чтобы продемонстрировать процедуру построения недостающих частных решений, ограничимся рассмотрением примера
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}_{1}=\lambda \mu x_{1}+\lambda x_{2}, \\
\dot{x}_{2}=\lambda \mu x_{2}+\lambda x_{3}, \\
\dot{x}_{3}=\lambda \mu x_{3}+\lambda x_{4}, \\
\dot{x}_{4}=\lambda \mu x_{4}+\lambda x_{5}, \\
\dot{x}_{5}=\lambda \mu x_{5}+a x_{3} .
\end{array}\right\}
\]

Система (8.30) относится к рассматриваемому типу систем. Заметим, что старшие члены разложения исходной системы как раз и удовлетворяют системе (8.20). Поэтому все особенности методики построения асимптотических решений в случае изучаемого вырождения будут уже ясны из рассмотрения данного примера.

Заметим, что (8.30) допускает систему частных решений, где $x_{3} \equiv x_{4} \equiv x_{5} \equiv 0$, а $x_{1}$ и $x_{2}$ удовлетворяют системе второго порядка
\[
\dot{x}_{1}=\lambda \mu x_{1}+\lambda x_{2}, \quad \dot{x}_{2}=\lambda \mu x_{2} .
\]

Одно из частных решений системы ( $8.30^{\prime}$ ) получается сразу
\[
x_{2}=0, \quad x_{1}=C_{1} \exp \left\{\lambda \int_{0}^{t} \mu(t) d t\right\} .
\]

Другое частное решение мы получим, интегрируя второе из уравнений системы $\left(8.30^{\prime}\right)$
\[
\dot{x}_{2}=C_{2} \exp \left\{\lambda \int_{0}^{t} \mu(t) d t\right\} .
\]

Подставляя теперь $x_{2}$ в первое из уравнений, мы получим
\[
\dot{x}_{1}=\lambda \mu x_{1}+\lambda C_{2} \exp \left\{\lambda \int_{0}^{t} \mu(t) d t\right\},
\]

откуда легко находим
\[
x_{1}=\lambda C_{2} t \exp \left\{\lambda \int_{0}^{t} \mu(t) d t\right\} .
\]

Таким образом, полная система частных решений определена.