Системы уравнений (2.22), коэффициенты которых имеют вид
\[
a_{i j}=\lambda^{p} a_{i j}^{(p)}+\lambda^{p-1} a_{i j}^{(p-1)}+\ldots+a_{i j}^{(0)}+\lambda^{-1} a_{i j}^{(-1)}+\ldots,
\]

будем называть системами ранга $p$. Построение асимптотических разложений решений таких уравнений требует незначительной модификации изложенной схемы.

Частные решения системы (2.22) будем искать в виде
\[
\left.\begin{array}{l}
y_{1}=\exp \left\{\int_{0}^{t}\left[\lambda^{p} \mu+\lambda^{p-1} \mu_{1}+\ldots+\lambda \mu_{p-1}\right] d t\right\} z_{1}, \\
y_{2}=\exp \left\{\int_{0}^{t}\left[\lambda^{p} \mu+\lambda^{p-1} \mu_{1}+\ldots+\lambda \mu_{p-1}\right] d t\right\} z_{2},
\end{array}\right\}
\]

где функции $z_{i}$ разыскиваются в форме ряда
\[
z_{i}=z_{i}^{(0)}+\frac{1}{\lambda} z_{i}^{(1)}+\ldots
\]

Функция $\mu$ будет корнем характеристического уравнения, которое в этом случае имеет вид
\[
\left|\begin{array}{cc}
a_{11}^{(p)}+\mu & a_{12}^{(p)} \\
a_{21}^{(p)} & a_{22}^{(p)}+\mu
\end{array}\right|=0 .
\]

Функции $\mu_{i}(i=1,2, \ldots, p-1)$, входящие в выражение (2.33), должны быть определены в процессе решения задачи.

Для того чтобы показать особенность этой задачи по сравнению с рассмотренной, нам достаточно проанализировать случай $p=2$. Случай $p>2$ изучается аналогично.

Итак, пусть $p=2$. Составим первые три системы уравнений, приравнивая коэффициенты при второй, первой и нулевой степени параметра $\lambda$
\[
\begin{array}{l}
\left.\begin{array}{l}
\left(a_{11}^{(2)}+\mu\right) z_{1}^{(0)}+a_{12}^{(2)} z_{2}^{(0)}=0 \\
a_{21}^{(2)} z_{1}^{(0)}+\left(a_{22}^{(2)}+\mu\right) z_{2}^{(0)}=0 .
\end{array}\right\} \\
\left.\begin{array}{l}
\left(a_{11}^{(2)}+\mu\right) z_{1}^{(1)}+a_{12}^{(2)} z_{2}^{(1)}=-\left\{\left(a_{11}^{(1)}+\mu_{1}\right) z_{1}^{(0)}+a_{12}^{(1)} z_{2}^{(0)}\right\}, \\
a_{21}^{(2)} z_{1}^{(1)}+\left(a_{22}^{(2)}+\mu\right) z_{2}^{(1)}=-\left\{a_{21}^{(1)} z_{1}^{(0)}+\left(a_{22}^{(1)}+\mu_{1}\right) z_{2}^{(0)}\right\} .
\end{array}\right\} \\
\left(a_{11}^{(2)}+\mu\right) z_{1}^{(2)}+a_{12}^{(2)} z_{2}^{(2)}=-\left\{\frac{d z_{1}^{(0)}}{d t}+a_{11}^{(0)} z_{1}^{(0)}+a_{12}^{(0)} z_{12}^{(0)}+\right. \\
\left.+\left(a_{11}^{(1)}+\mu_{1}\right) z_{1}^{(1)}+a_{12}^{(1)} z_{2}^{(1)}\right\}, \\
a_{21}^{(2)} z_{1}^{(2)}+\left(a_{22}^{(2)}+\mu\right) z_{2}^{(2)}=-\left\{\frac{d z_{2}^{(0)}}{d t}+a_{21}^{(0)} z_{1}^{(0)}+a_{22}^{(0)} z_{2}^{(0)}+\right. \\
\left.+a_{21}^{(1)} z_{1}^{(\mathrm{I})}+\left(a_{22}^{(1)}+\mu_{1}\right) z_{2}^{(1)}\right\} \\
\end{array}
\]

Так же, как и в предыдущем случае, из системы (2.36) мы можем найти только отношение искомых функций $z_{1}^{(0)}$ и $z_{2}^{(0)}$. Таким образом, формула (2.29) остается справедливой.
Условие разрешимости системы (2.37) можно записать так:
\[
\left(a_{11}^{(1)}+\mu_{1}\right) z_{1}^{(0)}+a_{12}^{(1)} z_{2}^{(0)}=C\left[a_{21}^{(1)} z_{1}^{(0)}+\left(a_{22}^{(1)}+\mu_{1}\right) z_{2}^{(0)}\right],
\]

где множитель $C$ определяется формулой (2.30). Используя выражение (2.29), мы перепишем это условие в виде
\[
z_{1}^{(0)}\left\{a_{11}^{(1)}+\mu_{1}+k a_{12}^{(1)}-C\left[a_{21}^{(1)}+k\left(a_{22}^{(1)}+\mu_{1}\right)\right]\right\}=0 .
\]

Так как $z_{1}^{(0)}
eq 0$, то равенство (2.40) нам позволяет определить функцию $\mu_{1}(t)$ :
\[
\mu_{1}(t)=\frac{C\left(a_{21}^{(1)}+k a_{22}^{(1)}\right)-a_{11}^{(1)}-k a_{12}^{(1)}}{1-C_{k}} .
\]

Таким образом, в этом приближении функция $z_{1}^{(0)}(t)$ также не определяется, она находится из системы (2.38).

Перепишем условие разрешимости указанной системы с учетом равенства (2.39)
\[
\frac{d z_{1}^{(0)}}{d t}+a_{11}^{(0)} z_{1}^{(0)}+a_{12} z_{2}^{(0)}=C\left(\frac{d z_{2}^{(0)}}{d t}+a_{21}^{(0)} z_{1}^{(0)}+a_{22}^{(0)} z_{2}^{(0)}\right) .
\]

Равенство (2.42) – это дифференциальное уравнение первого порядка относительно неизвестной $z_{1}^{(0)}$.

Уравнения остальных приближений определяют функции $z_{i}^{(k)}(i=1,2 ; k>0)$.

Случай произвольного ранга $p>2$ мало отличается от рассмотренного. Подставляя разложения (2.33) в исходную систему уравнений, мы получим системы уравнений, которые определяют искомые функции. Легко проверить, что первые $p$ уравнений оставляют функции $z_{1}^{(0)}, z_{1}^{(1)}, \ldots, z_{1}^{(p-1)}$ неопределенными, но зато условие разрешимости этих систем нам дадут алгебраические соотношения, из которых мы можем найти функции $\mu_{1}(t)$, $\mu_{2}(t), \ldots, \mu_{p-1}(t)$. Первая из систем, позволяющая вычислить функцию $z_{1}^{(0)}$, будет та, которая получена сравнением коэффициентов при значении параметров в нулевой степени.