Рассмотрим систему уравнений
\[
\dot{x}=\varepsilon X(t, t, u),
\]
где $X$ – периодическая функция времени $t$ периода $2 \pi$, а $u$ некоторая медленно меняющаяся функция $x$ и $t$ (управление). Ее изменение может быть описано уравнением
\[
\dot{u}=\varepsilon \varphi(x, t, u),
\]
здесь $x$ и $u$-это некоторые векторы размерностей $n$ и $m$ соответственно. Для исследования системы (9.1) – (9.2) может быть использован метод Ван-дер-Поля: так как за время одного периода переменные $x$ и $u$ изменятся мало, то уравнение (9.1) можно заменить усредненным
\[
\dot{x}=\varepsilon \bar{X}(x, u),
\]
где
\[
\bar{X}(x, u)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} X(x, t, u) d t,
\]
и вместо системы (9.1), (9.2) рассматривать систему (9.3), $(9.2)$.
Можно формально построить процесс, аналогичный тому, который был изложен в § 4 настоящей главы; для этого достаточно сделать замену
где
\[
x=\bar{x}+\varepsilon \xi_{1}(x, t, u)+\varepsilon^{2} \xi_{2}(x, t, u)+\ldots,
\]
Тогда
\[
\dot{x}=\varepsilon A_{1}(x, u)+\varepsilon^{2} A_{2}(x, u)+\ldots
\]
\[
\begin{array}{l}
A_{1}=\bar{X}, \\
A_{2}=\frac{\overline{\partial X}}{\partial \bar{x}} \xi_{1}-\frac{\partial \xi_{1}}{\partial \bar{x}} A_{1}-\frac{\partial \xi_{1}}{\partial u} \varphi, \\
\xi_{1}=\int_{0}^{t}\{X(\bar{x}, t, u)-\bar{X}(\bar{x}, u)\} d t
\end{array}
\]
и т. д.
В первом приближении мы получим систему уравнений (9.2), (9.3). Для второго приближения мы получим систему уравнений
и т. д.
\[
\left.\begin{array}{rl}
\dot{\bar{x}}_{2} & =\varepsilon A_{1}\left(\bar{x}_{2}, u\right)+\varepsilon^{2} A_{2}\left(\bar{x}_{2}, u\right), \\
\dot{u} & =\varepsilon \varphi\left(\bar{x}_{2}+\xi_{1}, t\right)
\end{array}\right\}
\]
Представляет определенный интерес также рассмотрение систем и более общего вида, например
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=\varepsilon X(x, t, y, u), \\
\dot{y}=\omega(x, u, t)+\varepsilon Y(x, t, y, u), \\
\dot{u}=\varepsilon \varphi(x, t),
\end{array}\right\}
\]
где правые части $X$ и $Y$ – периодические функции скалярных аргументов $t$ и $y$. Такие системы содержат уже две быстрые переменные $t$ и $y$. Для их исследования может быть формально использован весь аппарат данной главы. В системах уравнений типа (9.5) возможно существование резонансных режимов.
