Перейдем теперь к изучению диссипативных систем, т. е. систем, в которых происходит рассеивание энергии.
Рассмотрим уравнение типа (1.1)
\[
\ddot{z}+\omega^{2} z=\varepsilon \varphi(\dot{z}) .
\]

Полная энергия маятника, движение которого описывает уравнение $(1.20)$, определяется формулой

Рис. 23.
\[
E=\frac{1}{2}\left(\dot{z}^{2}+\omega^{2} z^{2}\right) .
\]

Для того чтобы рассматриваемая механическая система была диссипативной, т. е. для того чтобы вдоль траектории производная $\frac{d E}{d t}$ была отрицательной, достаточно, чтобы функция $\varphi(\dot{z})$ удовлетворяла условию
\[
\operatorname{sign} \varphi(\dot{z})=-\operatorname{sign} \dot{z} .
\]

Для доказательства вычислим производную полной энергии в силу уравнения (1.20)
\[
\frac{d E}{d t}=\dot{z} \ddot{z}+\omega^{2} z \dot{z}=\varepsilon \varphi(\dot{z}) \dot{z} .
\]

На основании (1.21) получим
\[
\frac{d E}{d t}<0 .
\]

Рассмотрим теперь для уравнения (1.20) укороченные уравнения (1.8). Функция $\bar{\varphi}_{2}(x)$ имеет вид
\[
\bar{\varphi}_{2}(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \varphi(-x \omega \sin y) \cos y d y \equiv 0 .
\]

Таким образом, диссипативная система вида (1.20) обладает свойством изохронности – частота колебаний не завнсит от амплитуды.

– Этот результат носит приближенный характер, поскольку он получен не из полного уравнения (1.20), а на основании исследования приближенных уравнений Ван-дер-Поля.
Вычислим еще функцию $\bar{\varphi}_{1}(x)$
\[
\bar{\varphi}_{1}(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \varphi(-x \omega \sin y) \sin y d y .
\]

Функция $\varphi(u)$, согласно (1.21), обладает свойством
\[
\operatorname{sign} \varphi(-u)=\operatorname{sign} u \text {. }
\]

Отсюда сразу следует, что подынтегральное выражение всегда положительно. Итак, функция $\vec{\varphi}_{1}(x)$ всегда положительна. Следовательно,
\[
\frac{d x}{d t}=-\frac{\varepsilon}{\omega} \bar{\varphi}_{1}(x)<0 .
\]

Таким образом, амплитуда колебаний $x$ – монотонно убывающая функция. Для определения зависимости $x(t)$ мы должны проинтегрировать еще нелинейное уравнение (1.23).

В качестве примера рассмотрим колебание маятника при напичии малого вязкого трения

Тогда
\[
\varphi(\dot{z})=-k \dot{z} .
\]
\[
\bar{\varphi}_{1}(x)=\frac{k \omega x}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \sin ^{2} y d y=\frac{k \omega x}{2} .
\]

Интегрируя затем уравнение (1.23), получим
\[
x=x_{0} e^{-\frac{\varepsilon k t}{2}},
\]

где $x_{0}$ – начальная амплитуда. Таким образом, уравнения Вандер-Поля позволяют представить колебательный процесс, описываемый уравнением (1.20), в следующем виде:
\[
x=x_{0} e^{-\frac{\varepsilon k t}{2}} \cos \omega t \text {. }
\]

Для того случая, когда $\varphi(\dot{z})=-k \dot{z}$, хорошо известно точное решение
\[
z=x_{0} e^{-\frac{\varepsilon \dot{k} t}{2}} \cos \sqrt{\omega^{2}-\varepsilon^{2} \frac{k^{2}}{4}} t .
\]

Сопоставляя (1.24) и (1.25), мы видим, что ошибка, которая возникает из-за замены точных уравнений укороченными, имеет
второй порядок малости по отношению к интенсивности возмущений $\varepsilon$.

В качестве второго примера рассмотрим задачу о колебании маятника в среде, сопротизление которой пропорционально квадрату скорости. Уравнение движения в этом случае имеет вид
т. e.
\[
\ddot{z}+\varepsilon \alpha|\dot{z}| \dot{z}+\omega^{2} z=0,
\]
\[
\varphi(\dot{z})=-\alpha \dot{z}|z| .
\]

Составим первое из укороченных уравнений Ван-дер-Поля. Проведя необходимые выкладки, получим
\[
\dot{x}=-\varepsilon \frac{4 \alpha x^{2} \omega}{3 \pi}
\]

и, следовательно, будем иметь следующую зависимость амплитуды от времени:
\[
x=\frac{x_{0}}{1+\frac{4 \varepsilon \alpha \omega x_{0}}{3 \pi} t} .
\]