Систему дифференциальных уравнений
\[
\dot{\tilde{x}}_{i}=F_{i}\left(\tilde{x}_{i}, \ldots, \tilde{x}_{n}\right) \quad(i=1,2, \ldots, n)
\]

будем называть системой Ляпунова, если она удовлетворяет следующим условиям:
a) Функции $F_{i}$ – аналитические функции своих аргументов в окрестности точки $\tilde{x}_{i}=0$
\[
F_{i}=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} \tilde{x}_{i}+F_{i}^{*}\left(\tilde{x}_{1}, \ldots, \tilde{x}_{n}\right)
\]

здесь $a_{i j}$ – постоянные числа, $F_{i}^{*}$ – аналитические функции, разложение которых начинается с членов второго порядка
\[
F_{i}^{*}=\sum_{s_{1}+s_{2}+\ldots+s_{n}=2}^{\infty} a_{i}^{\left(s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{n}\right)} \tilde{x}_{1}^{s_{1}} \tilde{x}_{2}^{s_{2}}, \ldots, \tilde{x}_{n}^{s_{n}} .
\]
б) Уравнение
\[
D(\lambda) \equiv\left|a_{i I}-\lambda^{*} \delta_{i}^{I}\right|=0
\]

имеет по крайней мере одну пару чисто мнимых корней $\pm i \lambda$, величина $\delta_{i}^{j}$-символ Кронекера; $\delta_{i}^{j}=1$, если $i=j$ и $\delta_{i}^{j}=0$, если $i
eq j$.
в) Корни $\pm i \lambda$ простые и, кроме того, среди корней уравнения (4.3) нет корней вида $\pm i p \lambda$, где $p$ – произвольное целос число.
г) Система (4.1) имеет аналитический первый интеграл
\[
H\left(\tilde{x}_{1}, \tilde{x}_{2}, \ldots, \tilde{x}_{n}\right)=\text { const. }
\]