Методика, изложенная в этом параграфе, может быть использована без каких-либо существенных изменений для исследования уравнений значительно
Рис. 30. более общего вида, чем рассмотренный.
Предположим теперь, что вместо уравнения (7.1) мы рассматриваем такое:
$$\ddot{z}+f(z,\xi )=0,$$

где $\xi$-вектор, изменение которого описывается системой дифференциальных уравнений
$$\dot{\xi }=R(\xi ,z)\text{. }$$

По-прежнему будем предполагать, что функция $f(z,\xi )$ периодическая по $z$ периода $2\pi$ для любого $\xi$, причем
$$f(\xi )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(z,\xi )dz=0,$$

каково бы ни было $\xi$.
Функцию $R$ также будем считать периодической функцией переменной $z$ периода $2\pi$ (в частности, не зависящей от $z$ ). Будем предполагать далее, что
$$\dot{z}(0)=\mathrm{\Omega }$$

есть некоторое большое число.
Систему (7.33), (7.34) при этих условиях мы будем называть системой с вращающимся звеном. Такие системы часто встречаются в приложениях. Например, как мы это увидим в следующем параграфе, общая задача движения спутника, т. е. задача исследования совместного движения центра инерции спутника и его движения относительно центра инерции во многих случаях сводится именно к исследованию системы с вращающимся звеном (или с вращающұмися звеньями).
После замены
$$t=\epsilon s,\epsilon =\frac{1}{\mathrm{\Omega }},\dot{z}=\mathrm{\Omega }+x$$

мы приведем систему (7.33), (7.34) к следующему виду:
$$\begin{array}{rl}{\xi }^{\prime }& =\epsilon R(\xi ,z),\\ x^{\prime }& =-\epsilon f(\xi ,z),\\ z^{\prime }& =1+\epsilon x,\end{array}\}$$

где ‘- штрих означает дифференцирование по новому независимому переменному $s$.

Для системы (7.35) рассмотрим задачу Коши с начальными данными
$$\xi (0)=\alpha ,x(0)=0,z(0)=0.$$

Эта задача может быть изучена стандартным методом. Быстрая переменная $z$ при этом исключается, и мы приходим к системе уравнений, порядок которой равен $n+1$. Однако в этом случае результат уже не может быть представлен в столь компактной форме, какую нам удалось получить в задаче о вращательном движении маятника.