Методика, изложенная в этом параграфе, может быть использована без каких-либо существенных изменений для исследования уравнений значительно
Рис. 30. более общего вида, чем рассмотренный.
Предположим теперь, что вместо уравнения (7.1) мы рассматриваем такое:
\[
\ddot{z}+f(z, \xi)=0,
\]

где $\xi$-вектор, изменение которого описывается системой дифференциальных уравнений
\[
\dot{\xi}=R(\xi, z) \text {. }
\]

По-прежнему будем предполагать, что функция $f(z, \xi)$ периодическая по $z$ периода $2 \pi$ для любого $\xi$, причем
\[
f(\xi)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(z, \xi) d z=0,
\]

каково бы ни было $\xi$.
Функцию $R$ также будем считать периодической функцией переменной $z$ периода $2 \pi$ (в частности, не зависящей от $z$ ). Будем предполагать далее, что
\[
\dot{z}(0)=\Omega
\]

есть некоторое большое число.
Систему (7.33), (7.34) при этих условиях мы будем называть системой с вращающимся звеном. Такие системы часто встречаются в приложениях. Например, как мы это увидим в следующем параграфе, общая задача движения спутника, т. е. задача исследования совместного движения центра инерции спутника и его движения относительно центра инерции во многих случаях сводится именно к исследованию системы с вращающимся звеном (или с вращающұмися звеньями).
После замены
\[
t=\varepsilon s, \quad \varepsilon=\frac{1}{\Omega}, \quad \dot{z}=\Omega+x
\]

мы приведем систему (7.33), (7.34) к следующему виду:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\xi^{\prime} & =\varepsilon R(\xi, z), \\
x^{\prime} & =-\varepsilon f(\xi, z), \\
z^{\prime} & =1+\varepsilon x,
\end{array}\right\}
\]

где ‘- штрих означает дифференцирование по новому независимому переменному $s$.

Для системы (7.35) рассмотрим задачу Коши с начальными данными
\[
\xi(0)=\alpha, \quad x(0)=0, \quad z(0)=0 .
\]

Эта задача может быть изучена стандартным методом. Быстрая переменная $z$ при этом исключается, и мы приходим к системе уравнений, порядок которой равен $n+1$. Однако в этом случае результат уже не может быть представлен в столь компактной форме, какую нам удалось получить в задаче о вращательном движении маятника.