Рассмотрим в качестве примера задачу о линейном демпфировании нелинейных колебаний. Пусть движение описывается уравнением
$$\ddot{z}+f(z)=-\epsilon c\dot{z},$$

где $c$ — некоторая положительная постоянная. Это уравнение является частным случаем рассмотренного выше уравнения $(2.1)$, когда функция $\phi (z,\dot{z})=-c\dot{z}=-c\omega Q_y$. Напишем для этой задачи первое из укороченных уравнений
$$\dot{x}=\frac{\epsilon c\omega }{2\pi \mathrm{\Delta }}{\int }_0^{2\pi }{Q}_y^{2}dy.$$

В явном виде мы не можем проинтегрировать в общем случае это уравнение, но можем сделать некоторые заключения. Интеграл в уравнении (2.12) — всегда положительное число
$${\int }_0^{2\pi }{Q}_y^{2}dy=\mathrm{\Phi }(x)>0$$

Далее, $\omega (x)>0$ по смыслу своего определения. Теперь отметим, что $x$ — это некоторое новое переменное, которое при $\epsilon =0$ превращается в постоянную интегрирования порождающего уравнения. Мы назвали ее условно амплитудой по аналогии с теорией линейных колебаний. В этом есть определенный смысл. В самом деле, мы только что установили, что полная энергия порождающего уравнения зависит только от этой постоянной. Значит точно так же, как амплитуда в линейных колебаниях, именно эта постоянная или любая ее однозначная функция определяют энергию системы. Следовательно, она играет ту же роль, что и амплитуда.

Предположим теперь, что в начальный момент времени энергия $E$ в системе была равна некоторому значению $E_0$, и пусть в течение некоторого времени она находилась под действнем диссипативной силы $\phi =-\epsilon c\dot{z}$. Вычислим производную в силу укороченных уравнений (2.12), принимая во внимание найденное выше выражение $E_x=-\omega (x)\mathrm{\Delta }$ :
$$\frac{dE}{dt}=E_x\dot{x}=-\omega \mathrm{\Delta }\dot{x}=-\frac{\epsilon c{\omega }^2}{2\pi }\mathrm{\Phi }(x)<0.$$

Следовательно, под действием силы $\phi =-\epsilon c\dot{z}$ энергия системы непрерывно убывает.

Формула (2.13) позволяет для каждого фиксированного значения «амплитуды» $x$ определить скорость убывания энергии. Что касается величины «амплитуды» $x$, то она в этом случае может и не убывать. Характер изменения этой величины, как это следует из уравнения (2.12), определяется только знаком $\mathrm{\Delta }(x)$. Это обстоятельство подчеркивает тот факт, что физический смысл «амплитуды» может не иметь никакого отношения к максимальному отклонению от положения равновесия, которое всегда убывает под действием диссипативной силы.