Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Рассмотрим в качестве примера задачу о линейном демпфировании нелинейных колебаний. Пусть движение описывается уравнением
\[
\ddot{z}+f(z)=-\varepsilon c \dot{z},
\]
где $c$ – некоторая положительная постоянная. Это уравнение является частным случаем рассмотренного выше уравнения $(2.1)$, когда функция $\varphi(z, \dot{z})=-c \dot{z}=-c \omega Q_{y}$. Напишем для этой задачи первое из укороченных уравнений
\[
\dot{x}=\frac{\varepsilon c \omega}{2 \pi \Delta} \int_{0}^{2 \pi} Q_{y}^{2} d y .
\]
В явном виде мы не можем проинтегрировать в общем случае это уравнение, но можем сделать некоторые заключения. Интеграл в уравнении (2.12) – всегда положительное число
\[
\int_{0}^{2 \pi} Q_{y}^{2} d y=\Phi(x)>0
\]
Далее, $\omega(x)>0$ по смыслу своего определения. Теперь отметим, что $x$ – это некоторое новое переменное, которое при $\varepsilon=0$ превращается в постоянную интегрирования порождающего уравнения. Мы назвали ее условно амплитудой по аналогии с теорией линейных колебаний. В этом есть определенный смысл. В самом деле, мы только что установили, что полная энергия порождающего уравнения зависит только от этой постоянной. Значит точно так же, как амплитуда в линейных колебаниях, именно эта постоянная или любая ее однозначная функция определяют энергию системы. Следовательно, она играет ту же роль, что и амплитуда.
Предположим теперь, что в начальный момент времени энергия $E$ в системе была равна некоторому значению $E_{0}$, и пусть в течение некоторого времени она находилась под действнем диссипативной силы $\varphi=-\varepsilon c \dot{z}$. Вычислим производную в силу укороченных уравнений (2.12), принимая во внимание найденное выше выражение $E_{x}=-\omega(x) \Delta$ :
\[
\frac{d E}{d t}=E_{x} \dot{x}=-\omega \Delta \dot{x}=-\frac{\varepsilon c \omega^{2}}{2 \pi} \Phi(x)<0 .
\]
Следовательно, под действием силы $\varphi=-\varepsilon c \dot{z}$ энергия системы непрерывно убывает.
Формула (2.13) позволяет для каждого фиксированного значения «амплитуды» $x$ определить скорость убывания энергии. Что касается величины «амплитуды» $x$, то она в этом случае может и не убывать. Характер изменения этой величины, как это следует из уравнения (2.12), определяется только знаком $\Delta(x)$. Это обстоятельство подчеркивает тот факт, что физический смысл «амплитуды» может не иметь никакого отношения к максимальному отклонению от положения равновесия, которое всегда убывает под действием диссипативной силы.
