Рассмотрим систему
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}_{1}=\lambda \mu(t) x_{1}+\lambda x_{2}+\sum_{j=1}^{m} a_{1 j}(t) x_{j}, \\
\begin{array}{l}
\cdots \cdots \\
\dot{x}_{m-1}=\lambda \mu(t) x_{m-1}+\lambda x_{m}+\sum_{j=1}^{m} a_{m-1, j}(t) x_{j}, \\
\dot{x}_{m}=\lambda \mu(t) x_{m}+\sum_{j=1}^{m} a_{m j}(t) x_{j} .
\end{array} \\
\end{array}
\]

Характеристическая матрица системы (8.1) имеет один элементарный делитель $\mu-\mu^{*}$, и его кратность равна $m$.
Положим
\[
x_{k}=u_{k}(\lambda, t) \exp \left\{\int_{0}^{t}[\lambda \mu(t)+\varphi(t, \lambda)] d t\right\} .
\]

Тогда неизвестные функции $u_{k}(k=1,2, \ldots, m)$ и $\varphi(t, \lambda)$ должны удовлетворять следуюшим системам уравнений:
\[
\begin{array}{l}
\dot{u}_{1}+u_{1} \varphi=\lambda u_{2}+\sum_{j=1}^{m} a_{1 j} u_{j}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . } \\
\dot{u}_{m-1}+u_{m-1} \varphi=\lambda u_{n}+\sum_{j=1}^{m} a_{m-1, j} u_{j}, \\
\dot{u}_{m}+u_{m} \varphi=\sum_{j=1}^{m} a_{m j} u_{j} . \\
\end{array}
\]

Предположим, что мы стали искать решение в виде
\[
u_{i}=\lambda^{k} u_{i}^{*}(\lambda, t), \quad \varphi=\lambda^{k} \varphi^{*}(\lambda, t),
\]
*) Изложение этого параграфа следует заметке Н. Н. Моисеева, опубликованной в ДАН СССР.

где $u_{i}^{*}$ и $\varphi^{*}$ ограничены и не обращаются в нуль при $\lambda \rightarrow \infty$. Потребуем, чтобы члены, стоящие в правых частях системы (8.3) и имеющие высшие степени $\lambda$, компенсировались произведениями $u_{i} \varphi$.

Предположим, например, что в первом уравнении системы (8.3) слагаемым, содержащим старшую степень $\lambda$, будет член $\lambda u_{2}$, тогда это выражение должно быть компенсировано слагаемым $u_{1} \varphi$, отсюда мы получим
\[
k_{1}+k=k_{2}+1 .
\]

Рассуждая аналогично, для второго уравнения найдем
\[
k_{2}+k=k_{2}+1
\]

и т. д. Итак, мы приходим к следующей системе равенств:
\[
\left.\begin{array}{c}
k_{1}-k_{2}=1-k, \\
k_{2}-k_{3}=1-k, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
k_{m-1}-k_{m}=1-k, \\
k_{m}-k_{1}=-k .
\end{array}\right\}
\]

Равенства (8.5) будем рассматривать как систему уравнений относительно $k_{i}$. Определитель этой системы, как легко проверить, равен нулю, а ранг матрицы системы равен $m-1$. Поэтому для того чтобы она имела решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы также равнялся $m-1$. Расширенная матрица в этом случае имеет вид

Мы видим, что сумма элементов каждого из первых $m$ столбцов равна нулю. Следовательно, этим свойством должен обладатр и $m+1$ столбец. Из этого условия находим величину $k$
\[
k=\frac{m-1}{m} \text {. }
\]

Не ограничивая общности, примем $k_{1}=0$. Тогда
\[
k_{2}=-\frac{1}{m}, \quad k_{3}=-\frac{2}{m}, \ldots, \quad k_{m}=-\frac{m-1}{m} .
\]

Итак, сделав некоторые предположения относительно структуры представлений (8.4) функций $u_{i}$ и $\varphi$, мы пришли к следующим выражениям для функций $x_{k}(t, \lambda)$ :
\[
x_{k}(t, \lambda)=\lambda^{-\frac{k-1}{m}} u_{k}^{*}(\lambda, t) \exp \left\{\int_{0}^{t}\left[\lambda \mu(t)+\lambda^{\frac{m-1}{m}} \varphi^{*}(\lambda, t)\right] d t\right\} .
\]

Мы видим, что оно содержит целые степени величины $\lambda^{1 / m}$. Поскольку функции $u_{k}^{*}$ и $\varphi^{*}$ ограничены при $\lambda \rightarrow \infty$, будем их искать в форме рядов, расположенных по отрицательным степеням этого параметра
\[
\left.\begin{array}{l}
u_{s}^{*}(t, \lambda)=u_{s 0}(t)+\lambda^{-\frac{1}{m}} u_{s 1}(t)+\lambda^{-\frac{2}{m}} u_{s 2}(t)+\ldots, \\
\varphi^{*}(\lambda, t)=\varphi_{0}(t)+\lambda^{-\frac{1}{m}} \varphi_{1}(t)+\lambda^{-\frac{2}{m}} \varphi_{2}(t)+\ldots
\end{array}\right\}
\]

Подставляя ряды (8.7) в урсвнения (8.3) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\lambda$, получим следующие уравнения для определения функций $u_{s 0}$ и $\varphi_{0}$ :
\[
\left.\begin{array}{r}
u_{10} \varphi_{0}-u_{20}=0, \\
u_{20} \varphi_{0}-u_{30}=0, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
u_{m-1, o} \varphi_{0}-u_{m-0}=0, \\
u_{m 0} \varphi_{0}-a_{m 1} u_{10}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Условимся сначала рассматривать лишь тот случай, когда для любых $t \in[0, T]$ коэффициент $a_{m 1}
eq 0$. Ниже мы увидим, что отказ от этого предположения приведет к другим выражениям для асимптотических представлений.

Система (8.8) – это система однородных алгебраических уравнений. Для того чтобы она допускала нетривиальные решения, необ́ходимо и достаточно, чтобы функция $\varphi_{0}$ была корнем уравнения

откуда
\[
\varphi_{0}=\sqrt[m]{a_{m 1}} .
\]

Уравнение (8.9) будем называть разрешающим.
Обозначим через $\varphi_{0}^{s}(s=1,2, \ldots, m)$ какой-либо из корней разрешающего уравнения и примем $\varphi_{0}=\varphi_{0}^{(1)}$. Если одну из функций (например, $u_{10}$ ) оставить произвольной, то система (8.8) позволяет при таком выборе $\varphi_{0}$ выразить все $u_{i 0}$ через $u_{10}$
\[
\left.\begin{array}{c}
u_{20}=\varphi_{0} u_{10}=\sqrt[m]{a_{m 1}} u_{10}, \\
u_{30}=\varphi_{0}^{2} u_{10}=\sqrt[m]{a_{m 1}^{2}} u_{10}, \\
\cdot . \cdot . \cdot . \cdot . \cdot \\
u_{m 0}=\varphi_{0}^{m-1} u_{10}=\sqrt[m]{a_{m 1}^{m-1}} u_{10}
\end{array}\right\}
\]

Для функций $u_{i 1}$ будем иметь следующую систему алгебраических уравнений:
\[
\left.\begin{array}{l}
u_{11} \varphi_{0}-u_{21}=-u_{10} \varphi_{1}, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
u_{m-2,1} \varphi_{0}-u_{m-1,1}=-u_{m-2,0} \varphi_{1}, \\
u_{m-1,1} \varphi_{0}-u_{m 1}=-u_{m-1,0} \varphi_{1}+a_{m-1,1} u_{10}, \\
u_{m 1} \varphi_{0}-a_{m 1} u_{11}=-u_{m 0} \varphi_{1}+a_{m 2} u_{20} .
\end{array}\right\}
\]

Относительно искомых функций $u_{11}, u_{21}, \ldots, u_{m 1}$ система (8.11) будет неоднородной системой алгебраических уравнений, определитель которой равен нулю. Для того чтобы эта система была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы равнялся рангу матрицы системы (8.11).

Заметим, что если первую строку определителя ситемы (8.11) мы умножим на 1, вторую- на $\varphi_{0}^{-1}$, третью – на $\varphi_{0}^{-2}$ и т. д., то сумма элементов каждого столбца станет равной нулю. Следовательно, тому же условию должны удовлетворять элементы столбца правых частей. Умножая соотношение, которое мы получим таким образом на $\varphi_{0}^{m}$, приходим к следующему выражению:
\[
\varphi_{1}\left(\varphi_{0}^{m-1} u_{10}+\varphi_{0}^{m-2} u_{20}+\ldots+u_{m 0}\right)=a_{m-1,1} u_{10} \varphi_{0}+a_{m 2} u_{20},
\]

которое является уравнением относительно $\varphi_{1}$.
Принимая во внимание равенство (8.10), имеем
\[
\varphi_{1}=\frac{a_{m-1,1}+a_{m, 2}}{m \varphi_{0}^{m-2}} .
\]

Определив функцию $\varphi_{1}$ по формуле (8.12), можно найти решение системы (8.11) с точностью до произвольной функции. Считая произвольной функцию $u_{11}$, из уравнений (8.11), легко определить остальные неизвестные
\[
\left.\begin{array}{l}
u_{21}=u_{11} \varphi_{0}+u_{10} \varphi_{1}, \\
u_{31}=u_{11} \varphi_{0}^{2}+2 u_{10} \varphi_{0} \varphi_{1}
\end{array}\right\}
\]

и т. д.
Рассуждая далее, без труда установим, что для любого $j=1,2, \ldots, m-2$
\[
\varphi_{j}=\frac{a_{m-1,1}+a_{m-j+1,2}+\ldots+a_{m, j+1}}{m \varphi_{0}^{m-l-1}} .
\]

После того как величина $\varphi_{j}$ определена, функция $u_{s j}$ определяется в явном виде.

Рассмотрим теперь систему для определения $u_{i, m-1}$. Эта система имет вид
\[
\left.\begin{array}{c}
u_{1, m-1} \varphi_{0}-u_{2, m-1}=-\left[\dot{u}_{10}+u_{11} \varphi_{m-2}+u_{12} \varphi_{m-3}+\ldots\right. \\
\left.\ldots+u_{1, m-2} \varphi_{1}\right]+a_{11} u_{10} \equiv B_{1}, \\
u_{2, m-1} \varphi_{0}-u_{3, m-1}=-\left[\dot{u}_{20}+u_{21} \varphi_{m-2}+u_{22} \varphi_{m-3}+\ldots\right. \\
\left.\ldots+u_{2, m-2} \varphi_{1}\right]+a_{12} u_{11}+a_{22} u_{20} \equiv B_{2}, \\
u_{m, m-1} \varphi_{0}-a_{m 1} u_{1, m-1}=-\left[\dot{u}_{m 0}+u_{m 1} \varphi_{m-2}+u_{m 2} \varphi_{m-3}+\ldots\right. \\
\left.\ldots+u_{m, m-2} \varphi_{1}\right]+a_{m 2} u_{2, m-2}+a_{m 3} u_{3, m-3}+\ldots+a_{m m} u_{m 0} \equiv B_{m} .
\end{array}\right\}
\]

Условие разрешимостн системы (8.14)
\[
B_{1} \varphi_{0}^{m-1}+B_{2} \varphi_{0}^{m-2}+\ldots+B_{m}=0
\]

можно переписать в следующем виде:
\[
\begin{array}{l}
\left\{\varphi_{1}\left[\varphi_{0}^{m-1} u_{1, m-2}+\varphi_{0}^{m-2} u_{2, m-2}+\ldots+u_{m, m-2}\right]-\right. \\
\left.\quad-a_{m 2} u_{2, m-2}-\varphi_{0} a_{m-1,1} u_{1, m-2}\right\}+ \\
+\left\{\varphi_{2}\left[\varphi_{0}^{m-1} u_{1, m-3}+\varphi_{0}^{m-2} u_{2, m-3}+\ldots+u_{m, m-3}\right]-a_{m 3} u_{3, m-3}-\right. \\
\left.\quad-\varphi_{0} a_{m-1,2} u_{2, m-3}-\varphi_{0}^{2} a_{m-2,1} u_{1, m-3}\right\}+\ldots \\
\ldots+\left\{\varphi_{m-2}\left[\varphi_{0}^{m-1} u_{11}+\varphi_{0}^{m-2} u_{21}+\ldots+u_{m 1}\right]-a_{m, m-1} u_{m 1}+\ldots\right. \\
\left.\ldots+\varphi_{0}^{m-3} a_{32} u_{21}+\varphi_{0}^{m-2} a_{21} u_{11}\right\}-\left(\dot{u}_{10}-a_{11} u_{10}\right) \varphi_{0}^{m-1}- \\
\quad-\left(\dot{u}_{20}-a_{22} u_{20}\right) \varphi_{0}^{m-2}-\ldots-\left(\dot{u}_{m 0}-a_{m m} u_{m 0}\right)=0 .
\end{array}
\]

Используя формулы (8.13), мы установим, что выражения, стоящие в фигурных скобках, равны нулю, и равенство (8.15)

можно переписать так:
\[
L u_{10}=\dot{u}_{10}-\frac{1}{m} u_{10}\left[a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{m m}\right]+\frac{\dot{\varphi}_{0}}{\varphi_{0}} \frac{m-1}{2} u_{10}=0 .
\]

Таким образом, функция $u_{10}$ удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка и, следовательно, определяется квадратурой
\[
u_{10}=\frac{C}{\sqrt{\varphi_{0}^{m-1}}} \exp \left\{\frac{1}{m} \int_{0}^{t}\left(a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{m m}\right) d t\right\},
\]

где $C$ – произвольная постоянная.
Определив функцию $u_{10}$ по формуле (8.17), находим затем $u_{i 0}$ по формулам (8.10).

На следующем шаге мы определим $u_{11}$, которая удовлетворяет уравнению вида
\[
L u_{11}=F\left(u_{10}\right)
\]

и т. д.
Итак, показано, что все члены разложения (8.7) могут быть эффективно вычислены либо в явном виде, либо в форме квадратур.

Определив $N$ членов разложения (8.7), мы можем построить следующие функции:
\[
\begin{aligned}
x_{i N}^{(s)}=\left\{\lambda^{k_{i}} u_{10}^{(s)}+\ldots\right. & \left.+\lambda^{k_{i}-\frac{N-1}{m}} u_{i, N-1}^{(s)}\right\} \times \\
& \times \exp \int_{0}^{t}\left\{\lambda \mu+\lambda^{k} \varphi_{0}^{(s)}+\ldots+\lambda^{\frac{1}{m}} \varphi_{m-2}^{(s)}\right\} d t
\end{aligned}
\]

где $\varphi_{j}^{(s)}$ и $u_{j i}^{(s)}$ означают функции, соответствующие корню уравнения (8.9) номера $s$.
Матрица
\[
\left\|x_{i N}^{(s)}\right\|
\]

может быть принята в качестве приближенного представления матрицы фундаментальных решений системы (8.1). Основанием для этого служит следующая теорема.

Теорема. Пусть $a_{m 1}(t)
eq 0$ для іюбого $t \in[0, T]$, тогда матрица (8.19) дает равномерную на [0, T] аппроксимацию матрицы фундаментальных решений системы (8.1) в следующем смысле: если частное решение системы (8.1) $x_{i}^{*}(t)$ и функция $x_{i N}^{(s)}$ удовлетворяют одинаковым начальным условиям, то для любого $t \in[0, T]$
\[
\left|x_{i}^{*}(t)-x_{i N}^{(s)}(t)\right|=O\left(\lambda^{k^{i}-\frac{N}{m}}\right) .
\]