Задачи, рассмотренные в первых разделах этого параграфа, относились к теории возмущений кеплеровского движения. При составлении этих уравнений мы игнорировали целый ряд важных обстоятельств. Например, иы не принимали во внимание присутствие атмосферы. На последних оборотах, которые происходят на высотах порядка 100 км над поверхностью Земли, влияние аэродинамического сопротивления перестает играть роль возмущающего фактора и становится одной из сил, определяющих весь характер движения.

В этих условиях аппарат уже нельзя рассматривать как материальную точку, поскольку величина аэродинамической силы, точнее коэффициент аэродинамического сопротивления, будет существенно зависеть от ориентации спутника относительно его скорости.

Если спутник не стабилизирован специальным образом, то он будет находиться в состоянии вращательного движения. Рассмотрим этот класс движений, когда вращение происходит с достаточно большой угловой скоростью. В это понятие вкла-
Рис. 34. дывается следующий смысл: угловая скорость вращения спутника во много раз больше угловой скорости вращения спутника вокруг Земли. В этом случае в задаче появляется малый параметр – отношение времени одного оборота спутника вокруг своего центра инерции ко времени полного обхода спутником своей орбиты.
Итак, будем рассматривать плоское движение аппарата под действием гравитационного поля, аэродинамической силы и ее момента относительно центра инерции аппарата.

Движение центра инерции аппарата описывается векторными уравнениями
\[
\frac{d r}{d t}=V, \quad \frac{d V}{d t}=-\frac{\mu}{r^{2}} r^{0}+F,
\]

где $\boldsymbol{r}$ – радиус-вектор центра инерции аппарата, а $\boldsymbol{V}$ – его скорость.

Для составления скалярных уравнений введем систему координат, изображенную на рис. 34. Перепишем первое из уравнений (8.32) в виде
\[
\frac{d r}{d t} r^{0}+r \frac{d \varphi}{d t} p^{0}=v V^{0}
\]

где $\boldsymbol{r}^{0}, \boldsymbol{p}^{0}, \boldsymbol{V}^{0}$ обозначают единичные векторы соответствующих направлений. Из рис. 34 сразу находим величины скалярных произведений
\[
\left(\boldsymbol{r}^{0} \boldsymbol{V}^{
u}\right)=\sin \theta, \quad\left(\boldsymbol{p}^{0} \boldsymbol{V}^{0}\right)=-\cos \theta,
\]

угол $\theta$ обозначает угол наклона вектора скорости к горизонту в данной точке.
Используя (8.33), получим скалярные уравнения
\[
\frac{d r}{d t}=v \sin \theta, \quad \frac{d \varphi}{d t}=-\frac{v}{r} \cos \theta .
\]

Уравнения (8.34) будем называть кинематическими соотношениями. Рассмотрим теперь второе из уравнений системы (8.32). Проекция вектора $\boldsymbol{F}$ на направление скорости называется лобовым сопротивлением. Проекция вектора $\boldsymbol{F}$ на направление нормали к траектории (вектора $\boldsymbol{n}^{0}$ ) называется подъемной силой. Условимся для простоты, что величиной подъемной силы можно пренебречь. Тогда выражение для вектора $\boldsymbol{F}$ запишем в следующем виде:
\[
\overline{\boldsymbol{F}}=-\frac{\rho(r) v^{2}}{2 m} S c_{x}(v, r, \alpha) \boldsymbol{V}^{0} .
\]

Здесь $\rho$ – плотность атмосферы (она зависит от высоты орбиты и, следовательно, от величины $r$ ), $m$-масса аппарата, $S$-характерная площадь (например, площадь сечения Миде-

Рис. 35. ля), $c_{x}$ – аэродинамический коэффициент. Кроме других величин, этот коэффициент зависит от угла атаки $\alpha$ – угла, который составляет некоторое выбранное направление на аппарате с вектором скорости (рис. 35 ); $c_{x}$ является четной функцией угла атаки $\alpha$.
Перепишем теперь второе из уравнений (8.32)
\[
\frac{d \boldsymbol{V}}{d t} \equiv \frac{d v}{d t} \boldsymbol{V}^{0}+v \frac{d \lambda}{d t} \boldsymbol{n}^{0}=-\frac{\mu}{r^{2}} \boldsymbol{r}^{0}-\frac{\rho v^{2}}{2 m} S c_{x} \boldsymbol{V}^{0} .
\]

Здесь $\lambda$ обозначает угол наклона вектора скорости к некоторому фиксированному в пространстве направлению – оси $O x$ (см. рис. 35). Замечая, что
\[
\left(\boldsymbol{r}^{0} \cdot \boldsymbol{n}^{0}\right)=\cos \theta,
\]

и используя (8.33), перепишем это уравнение в проекциях на направление $\boldsymbol{v}^{0}$ и $\boldsymbol{n}^{0}$
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d v}{d t}=-\frac{\mu}{r^{2}} \sin \theta-\frac{\rho v^{2}}{2 i n} S c_{x} \equiv f_{1}(r, v, \theta, \alpha), \\
\frac{d \lambda}{d t}=-\frac{\mu}{r^{2} v} \cos \theta .
\end{array}\right\}
\]

Для дальнейшего удобно исключить из уравнений (8.35) величину $\lambda$. Для этого заметим, что (см. рис. 34 )
\[
\theta=\lambda+\left(\frac{\pi}{2}-\varphi\right) \text {, }
\]

откуда сразу находим
\[
\frac{d \theta}{d t}=-\cos \theta\left(\frac{\mu}{r^{2} v}-\frac{v}{r}\right) \doteq f_{2}(r, v, \theta) .
\]

Уравнение, описывающее движение аппарата относительно центра масс, мы получим, применяя теорему моментов
\[
\frac{d^{2} v}{d t^{2}}=M(v, r, \alpha),
\]

где $M$ обозначает аэродинамический момент, отнесенный к единице массы и также зависящий от угла атаки. Величина Ө называется углом тангажа. Это угол, под которым ось аппарата наклонена к оси $O x$. Из рис. 35 находим связь
\[
\vartheta=\alpha+\lambda .
\]

Используя уравнения (8.34) и (8.35), вычислим $d^{2} \lambda / d t^{2}$
\[
\frac{d^{2} \lambda}{d t^{2}}=\frac{\mu}{r^{2} v} \sin \theta f_{2}(r, v, \theta)+\frac{\mu}{r^{3}} \sin 2 \theta+\frac{\mu}{r^{2} v^{2}} f_{1}(r, v, \theta, \alpha) .
\]

Подставляя это выражение в уравнение (8.36), мы можем записать его в виде
\[
\frac{d^{2} \alpha}{d t^{2}}=f_{3}(r, v, \theta, \alpha)
\]

где
\[
\begin{aligned}
f_{3}=M(r, v, \alpha)-\left\{\frac{\mu}{r^{2} v} \sin \theta f_{2}(v,\right. & r, \theta)+ \\
& \left.+\frac{\mu}{r^{3}} \sin 2 \theta+\frac{\mu}{r^{2} v^{2}} f_{1}(r, v, \theta, \alpha)\right\} .
\end{aligned}
\]

Итак, система уравнений (8.34), (8.35) и (8.37) описывает плоское движение аппарата. Это система шестого порядка. Однако в силу того, что функция ч не входит в правые части уравнений этой системы, нам достаточно разработать метод интегрирования системы пятого порядка.
Введем обозначение
\[
\frac{d \alpha}{d t}=\omega_{0}+z,
\]

где $\omega_{0}$ – угловая скорость вращения аппарата в некоторый фиксированный момент времени $t_{0}$.

Согласно нашему основному предположению время $T=$ $=2 \pi / \omega_{0}$ мало по сравнению со временем полного обхода апиаратом своей орбиты вокруг Земли (за один оборот вокруг Земли аппарат совершает много оборотов вокруг своего центра инерции), т. е. $\omega_{0}$ велико.
Введем малый параметр
\[
\varepsilon=\frac{1}{\omega_{0}}
\]

и сделаем замену независимого переменного
\[
\tau=\omega_{0} t .
\]

Тогда система уравнений (8.34), (8.35) и (8.37) примет следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d v}{d \tau}=\varepsilon f_{1}(r, v, \theta, \alpha), \quad \frac{d \theta}{d \tau}=\varepsilon f_{2}(r, v, \theta) \\
\frac{d r}{d \tau}=\varepsilon v \sin \theta, \quad \frac{d z}{d \tau}=\varepsilon f_{3}(r, v, \theta, \alpha) \\
\frac{d \alpha}{d \tau}=1+\varepsilon z
\end{array}
\]

Уравнение относительно полярного угла $\varphi$ в силу соображений, высказанных ранее, мы не выписываем.

Система (8.38) содержит одну вращающуюся фазу – угол $\alpha$ и четыре медленных переменных. Для ее исследования может быть использована стандартная процедура.

Остановимся только на анализе уравнений первого приближения
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d v}{d \tau}=\varepsilon \tilde{f}_{1}(r, v, \theta), \\
\frac{d z}{d \tau}=\varepsilon \tilde{f}_{3}(r, v, \theta) .
\end{array}\right\}
\]

Остальные уравнения мы не выписываем, так как их правые части не содержат угла атаки $\alpha$ и, следовательно, после осреднения останутся без изменений.

Рассмотрим первое из уравнений системы (8.39). Величина $\bar{f}_{1}$ имеет вид
\[
\tilde{f}_{1}(r, v, \theta)=-\frac{\mu}{r^{2}} \sin \theta-\frac{\rho v^{2}}{2 m} S \bar{c}_{x}(r, v) .
\]

Так как $c_{x}$ – обычно четная функция угла атаки, то величина $\bar{c}_{x}$ заведомо не равна нулю.

Величина момента $M(v, r, \alpha)$ обычно бывает нечетной функцией угла атаки $\alpha$, поэтому функцию $\bar{f}_{3}$ мы можем записать в следующем виде:
\[
f_{3}(r, v, \theta)=-\left\{\frac{\mu}{r^{2} v} \sin \theta f_{2}(r, v, \theta)-\frac{\mu}{r^{3}} \sin 2 \theta+\frac{\mu}{r^{2} v^{2}} f_{1}(r, v, \theta)\right\} \text {. }
\]

Таким образом, в первом приближении мы должны проинтегрировать систему трех уравнений. Выпишем эти уравнения, возвращаясь к старому масштабу времени:
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d v}{d t}=f_{1}(r, v, \theta), \quad \frac{d \theta}{d t}=f_{2}(r, v, \theta), \\
\frac{d r}{d t}=v \sin \theta .
\end{array}\right\}
\]

Определив эти величины, мы находим оставшиеся при помощи квадратур
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d z}{d t}=f_{3}(r, v, \theta), \\
\frac{d a}{d t}=\omega_{0}+z .
\end{array}\right\}
\]

Итак, в первом приближении уравнения движения центра масс могут быть отделены от уравнений движения относительно центра масс. При этом аэродинамическая сила, которая входит в эти уравнения, получается простым усреднением ее по углу атакй.

Определив движение центра масс, мы можем затем рассчитать характер изменения вращательного движения. Особенность этого приближения состоит еще и в том, что величина угла атаки и угловая скорость вращения аппарата не оказывают никакого влияния на движение центра масс. В свою очередь характер вращательного движения аппарата целиком определяется особенностями движения центра масс. Для более тонкого изучения взаимного влкяния движения центра масс и вращения вокруг центра масс необходимо рассмотреть более высокие приближения.

Примечание. Мы предполагали, что аэродинамическая сила сводится только к силе лобового сопротивления Учесть влияние подъемной силы не представляет особого труда (это будет сделано в следующем параграфе). Однако в рамках первого приближения ее учет приведет к нулевому эффекгу, поскольку подъемная сила является нечетной функцией угла атаки и ее среднее значение будет нулем. Таким образом, система уравнений (8.40) и (8.41) может быть использована для изучения движения аппарата в атмосфере, если только мы считаем достаточно точными уравнения первого приближения.