Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Проведем расчет нерезонансных решений $x^{(0)}$ для уравнений
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}+\omega^{2} x=\mu \sin t+\alpha x^{3}, \\
\ddot{x}+\omega^{2} x=\mu \sin t+\alpha x^{2}
\end{array}
\]
при условии, что $\omega
eq 1$. Согласно изложенной теории периодические решения периода $2 \pi$ уравнений (8.9) и (8.10), обращающиеся в тривиальные решения порождающего уравнения при $\mu \rightarrow 0$, следует искать в виде рядов
\[
x=\mu x_{1}+\mu^{2} x_{2}+\mu^{3} x_{3}+\ldots
\]
Функция $x_{1}$ в обоих случаях удовлетворяет уравнению
\[
\ddot{x}_{1}+\omega^{2} x_{1}=\sin t .
\]
Так как $\omega
eq 1$, то единственное периодическое решение уравнения (8.11), имеющее период $2 \pi$, будет
\[
x_{1}=\frac{1}{\omega^{2}-1} \sin t .
\]
Уравнение для $x_{2}$ в случае (8.9) имеет вид
\[
\ddot{x}_{2}+\omega^{2} x_{2}=0 .
\]
Уравнение (8.13) не допускает периодического решения периода $2 \pi$, кроме тривиального. Итгк, $x_{2} \equiv 0$. Уравнения для $x_{3}$
\[
\ddot{x}_{3}+\omega^{2} x_{3}=\left\{\frac{3 \alpha}{4} \sin t-\frac{\alpha}{4} \sin 3 t\right\} \frac{1}{\left(\omega^{2}-1\right)^{3}}
\]
имеет решение
\[
x_{3}=\left\{\frac{3 a}{4\left(\omega^{2}-1\right)} \sin t-\frac{\alpha}{4\left(\omega^{2}-9\right)} \sin 3 t\right\} \frac{1}{\left(\omega^{2}-1\right)^{3}}
\]
и т. д.
Итак, периодическое решения уравнения (8.9) имеет вид
\[
x=\frac{\mu}{\omega^{2}-1} \sin t+\mu^{3}\left\{\frac{3 \alpha \sin t}{4\left(\omega^{2}-1\right)}-\frac{\alpha}{4\left(\omega^{2}-9\right)} \sin 3 t\right\} \frac{1}{\left(\omega^{2}-1\right)^{3}}+\ldots
\]
Периодическое решение уравнения (8.10) находится столь же просто
\[
x=\frac{\mu}{\omega^{2}-1} \sin t+\frac{\mu^{2}}{\left(\omega^{2}-1\right)^{2}}\left\{\frac{\alpha}{2}-\frac{\alpha \cos 2 t}{2\left(\omega^{2}-4\right)}\right\}+\ldots
\]
Если мы сделаем попытку построить нерезонансные периодические решения уравнений (8.9) и (8.10) методом Пуанкаре, рассматривая уравнения (8.9) и (8.10) как квазилинейные, то, как нетрудно убедиться, мы придем к тем же результатам. Таким образом, в рассматриваемом случае обе трактовки «квазилинейная» и «квазиляпуновская», оказываются, дают одно и то же.
