Проведем расчет нерезонансных решений $x^{(0)}$ для уравнений
$$\begin{array}{l}\ddot{x}+{\omega }^{2}x=\mu \sin t+\alpha x^3,\\ \ddot{x}+{\omega }^{2}x=\mu \sin t+\alpha x^2\end{array}$$

при условии, что $\omega eq1$. Согласно изложенной теории периодические решения периода $2\pi$ уравнений (8.9) и (8.10), обращающиеся в тривиальные решения порождающего уравнения при $\mu \to 0$, следует искать в виде рядов
$$x=\mu x_1+{\mu }^2{x}_2+{\mu }^3{x}_3+\dots$$

Функция $x_1$ в обоих случаях удовлетворяет уравнению
$${\ddot{x}}_1+{\omega }^2{x}_1=\sin t.$$

Так как $\omega eq1$, то единственное периодическое решение уравнения (8.11), имеющее период $2\pi$, будет
$$x_1=\frac{1}{{\omega }^2-1}\sin t.$$

Уравнение для $x_2$ в случае (8.9) имеет вид
$${\ddot{x}}_2+{\omega }^2{x}_2=0.$$

Уравнение (8.13) не допускает периодического решения периода $2\pi$, кроме тривиального. Итгк, $x_2\equiv 0$. Уравнения для $x_3$
$${\ddot{x}}_3+{\omega }^2{x}_3=\{\frac{3\alpha }{4}\sin t-\frac{\alpha }{4}\sin 3t\}\frac{1}{{({\omega }^2-1)}^3}$$

имеет решение
$$x_3=\{\frac{3a}{4({\omega }^2-1)}\sin t-\frac{\alpha }{4({\omega }^2-9)}\sin 3t\}\frac{1}{{({\omega }^2-1)}^3}$$

и т. д.
Итак, периодическое решения уравнения (8.9) имеет вид
$$x=\frac{\mu }{{\omega }^2-1}\sin t+{\mu }^3\{\frac{3\alpha \sin t}{4({\omega }^2-1)}-\frac{\alpha }{4({\omega }^2-9)}\sin 3t\}\frac{1}{{({\omega }^2-1)}^3}+\dots$$

Периодическое решение уравнения (8.10) находится столь же просто
$$x=\frac{\mu }{{\omega }^2-1}\sin t+\frac{{\mu }^2}{{({\omega }^2-1)}^2}\{\frac{\alpha }{2}-\frac{\alpha \cos 2t}{2({\omega }^2-4)}\}+\dots$$

Если мы сделаем попытку построить нерезонансные периодические решения уравнений (8.9) и (8.10) методом Пуанкаре, рассматривая уравнения (8.9) и (8.10) как квазилинейные, то, как нетрудно убедиться, мы придем к тем же результатам. Таким образом, в рассматриваемом случае обе трактовки «квазилинейная» и «квазиляпуновская», оказываются, дают одно и то же.