Проведем расчет нерезонансных решений $x^{(0)}$ для уравнений
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}+\omega^{2} x=\mu \sin t+\alpha x^{3}, \\
\ddot{x}+\omega^{2} x=\mu \sin t+\alpha x^{2}
\end{array}
\]

при условии, что $\omega
eq 1$. Согласно изложенной теории периодические решения периода $2 \pi$ уравнений (8.9) и (8.10), обращающиеся в тривиальные решения порождающего уравнения при $\mu \rightarrow 0$, следует искать в виде рядов
\[
x=\mu x_{1}+\mu^{2} x_{2}+\mu^{3} x_{3}+\ldots
\]

Функция $x_{1}$ в обоих случаях удовлетворяет уравнению
\[
\ddot{x}_{1}+\omega^{2} x_{1}=\sin t .
\]

Так как $\omega
eq 1$, то единственное периодическое решение уравнения (8.11), имеющее период $2 \pi$, будет
\[
x_{1}=\frac{1}{\omega^{2}-1} \sin t .
\]

Уравнение для $x_{2}$ в случае (8.9) имеет вид
\[
\ddot{x}_{2}+\omega^{2} x_{2}=0 .
\]

Уравнение (8.13) не допускает периодического решения периода $2 \pi$, кроме тривиального. Итгк, $x_{2} \equiv 0$. Уравнения для $x_{3}$
\[
\ddot{x}_{3}+\omega^{2} x_{3}=\left\{\frac{3 \alpha}{4} \sin t-\frac{\alpha}{4} \sin 3 t\right\} \frac{1}{\left(\omega^{2}-1\right)^{3}}
\]

имеет решение
\[
x_{3}=\left\{\frac{3 a}{4\left(\omega^{2}-1\right)} \sin t-\frac{\alpha}{4\left(\omega^{2}-9\right)} \sin 3 t\right\} \frac{1}{\left(\omega^{2}-1\right)^{3}}
\]

и т. д.
Итак, периодическое решения уравнения (8.9) имеет вид
\[
x=\frac{\mu}{\omega^{2}-1} \sin t+\mu^{3}\left\{\frac{3 \alpha \sin t}{4\left(\omega^{2}-1\right)}-\frac{\alpha}{4\left(\omega^{2}-9\right)} \sin 3 t\right\} \frac{1}{\left(\omega^{2}-1\right)^{3}}+\ldots
\]

Периодическое решение уравнения (8.10) находится столь же просто
\[
x=\frac{\mu}{\omega^{2}-1} \sin t+\frac{\mu^{2}}{\left(\omega^{2}-1\right)^{2}}\left\{\frac{\alpha}{2}-\frac{\alpha \cos 2 t}{2\left(\omega^{2}-4\right)}\right\}+\ldots
\]

Если мы сделаем попытку построить нерезонансные периодические решения уравнений (8.9) и (8.10) методом Пуанкаре, рассматривая уравнения (8.9) и (8.10) как квазилинейные, то, как нетрудно убедиться, мы придем к тем же результатам. Таким образом, в рассматриваемом случае обе трактовки «квазилинейная» и «квазиляпуновская», оказываются, дают одно и то же.