Мы уже говорили о том, что методы, излагаемые в этой главе, находят разнообразные приложения в физике и технике. Одна из первых задач механики, рассмотренных асимптотическими методами, была задача о движении гироскопа под действием опрокидывающего момента в предположении, что этот момент медленно изменяется со временем. Эта задача возникла в середине XIX века в связи с появлением нарезной артиллерии. Нарезы на внутренней поверхности ствола придают спаряду вращательное движение вокруг оси симметрии. Благодаря этому снаряд приобретает гироскопическую стабилизацию. Кривизна траектории снаряда обычно мала, а изменение угловой скорости врацения за счет трения о воздух незначительно. Вот почему для объяснения различных особенностей движения артиллерийского снаряда можно использовать теорию свободного гироскопа. Первая теория движения артиллерийского снаряда, использующая такую концепцию, была создана в середине прошлого века русским артиллерийским генералом Майевским. Однако в его работах пағаметры гироскопа (снаряда) во все время его движения считались постоянными. Капитан франпузской артиллерии де Спарр был, по-видимому, первым, кто отказался от подобного предположения и раззил теорию, по суцеству близкую к той, которая развивается в этой главе.

Мы будем рассматривать кассическую задачу Лагранжа Пуассона о движенип осесимметричного волчка, неподвижная точка которого лежит на оси собственного вращения. Предполагается, что его движение происходит под действием опрокидывающего момента $\boldsymbol{M}$, направленного перпендикулярно плоско-
Рис. 40. сти, проходящей через его ось симметрии, направление которой определяет единичный вектор $\xi^{0}$ (рис. 40 ).
Обозначим через $\boldsymbol{\Omega}$ мгновенную угловую скорость гироскопа, через $\boldsymbol{\omega}$ – скорость собственного вращения
\[
\omega=\omega \xi^{0} \text {. }
\]

Положим
\[
\boldsymbol{\Omega}=\boldsymbol{\omega}+\boldsymbol{\omega}_{1} .
\]

Рассмотрим подробнее, что собой представляет вектор $\boldsymbol{\omega}_{1}$.
Вращение гироскопа можно рассматривать состоящим из двух вращательных движений: собственного вращения вокруг вектора $\xi^{0}$ и вращения вектора $\xi^{0}$. Таким образом, $\omega_{1}$ – это мгновенная угловая скорость вектора $\xi^{0}$.

Величина $d \xi^{0} / d t$ – скорость конца вектора $\xi^{0}$. Так как $\xi^{0}$ – единичный вектор, то
\[
\frac{d \xi^{0}}{d t}=\omega_{1} \tau^{0}
\]

где $\boldsymbol{\tau}^{0}$ – единичный вектор касательной к годографу вектора $\xi^{0}$ (рис. 41 ), а $\omega_{1}$ – абсолютная величина вектора $\boldsymbol{\omega}_{1}$. Так как $\tau^{0}$ – единичный вектор, то
\[
\omega_{1}=\left|\frac{d \xi^{0}}{d t}\right| .
\]

Вектор $\boldsymbol{\omega}_{1}$ мгновенной угловой скорости вращения вектора $\xi^{0}$ перпендикулярен плоскости, проходящей через вектор $\xi^{0}$ и вектор линейной ско-

Рис. 41. рости его конца. Следовательно, направление вектора $\boldsymbol{\omega}_{1}$ совпадает с направлением вектора
\[
\xi^{0} \times \frac{d \xi_{0}}{d t} .
\]

С другой стороны, оба векторг, входящие в это произведение, перпендикулярны друг другу. Поэтому
\[
\left|\xi^{0} \times \frac{d \xi^{0}}{d t}\right|=\left|\frac{d \xi^{0}}{d t}\right| .
\]

Сопоставляя это равенство с (6.3), мы убеждаемся, что и по величине, и по направлению вектор $\omega_{1}$ совпадает с вектором (6.4). Итак,
\[
\omega_{1}=\xi^{0} \times \frac{d \xi^{0}}{d t}
\]

и, следовательно, вектор $\boldsymbol{\Omega}$ может быть представлен следующей формулой:
\[
\mathbf{\Omega}=\omega \xi^{0}+\xi^{j} \times \frac{d \xi^{0}}{d t} .
\]

Составим выражение для кинетического момента гироскопа
\[
\boldsymbol{K}=\mathbf{I} \mathbf{\Omega},
\]

где $J$-тензор инерции. Обозначим через $A$ экваториальный, а через $C$ – полярный момент инерции рассматриваемого симметричного гироскопа. Тогда очевидно, что
\[
\boldsymbol{K}=A \boldsymbol{\omega}_{1}+C \boldsymbol{\omega} .
\]

Описывать движение гироскопа будем при помощи уравнения моментов
\[
\frac{d \boldsymbol{K}}{d t}=\boldsymbol{L},
\]

где $\boldsymbol{L}$ – момент внешней силы $g(t)$. Будем считать, что эта сила постоянна по направлению, которое задается единичным вектором $\boldsymbol{z}^{0}$. Тогда момент этой силы относительно неподвижной точки 0 будет
\[
\boldsymbol{L}=\lg (t)\left(\boldsymbol{\xi}^{0} \times-\boldsymbol{z}^{0}\right)=\chi(t)\left(\boldsymbol{z}^{0} \times \boldsymbol{\xi}^{0}\right) .
\]

Вычислим теперь $d \boldsymbol{K} / d t$. Для этого заметим, что
\[
\frac{d \omega_{1}}{d t}=\xi^{0} \times \frac{d^{2} \xi^{0}}{d t^{2}}, \quad \frac{d \omega}{d t}=\frac{d \omega}{d t} \xi^{0}+\omega \frac{d \xi^{0}}{d t} .
\]

Используя выражения (6.7) и (5.8), можно переписать уравнение (6.6) в виде
\[
A\left(\xi^{0} \times \frac{d^{2} \xi^{0}}{d t^{2}}\right)+C\left(\frac{d \omega}{d t} \xi^{0}+\omega \frac{d \xi^{0}}{d t}\right)=\chi(t)\left(\boldsymbol{z}^{0} \times \xi^{0}\right) .
\]

Уравнение (6.9) – общее векторное ураввение, описывающее вращательное движение гироскопа Составим эквивалентную ему систему скалярных уравнений.

Обозначим через $x, y$ и $z$ проекции вектора $\xi^{0}$ на неподвижные оси $O x, O y$ и $O z$ (см. рис. 40), связанные с непсдвижной точкой $O$. Система координат $O x y z$ введена так, что ось $O z$ совпадает с направлением действующей силы.

Умножим уравнение (6.9) скалярно сначала на единичный вектор $\boldsymbol{x}^{0}$, а затем на $\boldsymbol{y}^{0}$ :
\[
\left.\begin{array}{l}
A(y \ddot{z}-z \ddot{y})+C \omega \dot{x}+C \dot{\omega} x=-x(t) y, \\
A(z \ddot{x}-x \ddot{z})+C \omega \dot{y}+C \dot{\omega} y=x(t) x .
\end{array}\right\}
\]

Недостающее третье уравнение мы получим, умножив скалярно уравнение (6.9) на вектор $\boldsymbol{\xi}^{0}$ :
\[
C \frac{d \omega}{d t}=0 .
\]

Из уравнения (6.11) сразу находим $\omega=$ const. Полученное выражение является интегралом системы: скорость собственного вращения остается постоянной независимо от характера изменения внешнего момента.

Итак, задача сводится к исследованию системы двух дифференциальных уравнений относительно двух неизвестных функций $x(t)$ и $y(t)$. Перепишем уравнения (6.10) с учетом (6.11)
\[
\left.\begin{array}{l}
A(y \ddot{z}-z \ddot{y})+C \omega \dot{x}=-x(t) y, \\
A(z \ddot{x}-x \ddot{z})+C \omega \dot{y}=x(t) x .
\end{array}\right\}
\]

В систему (6.12) входит еще одно неизвестное $z$. Но так как $x$, $y$ и $z$ – это проекции единичного вектора $\xi^{0}$, то функция $z(t)$ определяется из соотношения
\[
z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}} .
\]

Таким образом, система (6.12) – это замкнутая система двух нелинейных уравнений второго порядка относительно двух неизвестных величин $x$ и $y$, она представляет собой точные уравнения, описывающие движение осесимметричного гироскопа вокруг неподвижной точки, лежащей на оси симметрии. Если величина $x$ постоянна, то полученная система может быть проинтегрирована в замкнутом виде (случай Лагранжа – Пуассона). Заметим, что система (6.12) всегда допускает тривиальное решение $x \equiv y \equiv 0$, соответствующее тому случаю, когда ось гироскопа направлена вдоль вектора внешней силы $\boldsymbol{g}(t)$. В этом случае движение гироскопа – это равномерное вращение вокруг оси $\mathrm{Oz}$.