Рассмотрим линейный осциллятор, подверженный действию внешних периодических сил:
\[
\ddot{x}+\omega^{2} x=F(t) .
\]
Период функции $F(t)$, не огранұчивая общности, мы можем принять равным $2 \pi$. Функция $F(t)$ разлагается в ряд Фурье
\[
F(t)=a_{0}+\sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \cos k t+\sum_{k=1}^{\infty} b_{k} \sin k t .
\]
Условимся, что число (1) не есть целое. Решение уравнения можно предстарить в виде
\[
x=\hat{x}+x^{*},
\]
где $\tilde{x}$ – общее решение однородного уравнения,
\[
\widetilde{x}=A \cos \omega t+B \sin \omega t,
\]
а $x^{*}$ – частное решение уравнения (7.1). Эта функция имсет период внешней силы $F(t)$,
\[
x^{*}=c_{0}+\sum_{k=1}^{\infty} c_{k} \cos k t+\sum_{k=1}^{\infty} d_{k} \sin k t .
\]
Подставляя выражение (7.4) в уравнение (7.1) и используя (7.2), легко находнм коэффициенты $c_{k}$ и $d_{k}$ :
\[
c_{0}=\frac{a_{0}}{\omega^{2}}, \quad c_{k}=\frac{a_{k}}{\omega^{2}-k^{2}}, \quad d_{k}=\frac{b_{k}}{\omega^{2}-k^{2}} \quad(k=1,2, \ldots) .
\]
Так же просто рассматривается и общий случай линейных систем произвольного числа степеней свободы
\[
\ddot{x}_{i}+\sum_{j=1}^{n} \alpha_{i j} x_{j}=F_{i} \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]
где $F_{i}(t)$ представимы в виде рядов Фурье
\[
F_{i}(t)=a_{0}^{(i)}+\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}^{(i)} \cos k t+\sum_{k=1}^{\infty} b_{k}^{(i)} \sin k t .
\]
Для отыскания частного решеняя системы (7.6), период которого равен $2 \pi$, полагаем
\[
x_{i}^{*}=c_{0}^{(i)}+\sum_{k=1}^{\infty} c_{k}^{(i)} \cos k t+\sum_{k=1}^{\infty} d_{k}^{(i)} \sin k t .
\]
Для определения коэффициентов разложений (7.7) получаем следующие системы линейных уравнений:
\[
\left.\begin{array}{l}
\sum_{j=1}^{n} c_{0}^{(j)} \alpha_{i j}=a_{0}^{(i)} \\
\sum_{i=1}^{n} c_{k}^{(j)}\left(\alpha_{i j}-\delta_{i}^{j} k^{2}\right)=a_{k}^{(i)}, \\
\sum_{j=1}^{n} d_{k}^{(j)}\left(\alpha_{i j}-\delta_{i}^{i} k^{2}\right)=b_{k}^{(i)} \quad(i=1,2, \ldots, n),
\end{array}\right\}
\]
где $\delta_{i}^{J}$ – символ Кронекера. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие системы вида (7.6), которые при $F_{i} \equiv 0$ превращаются в консервативные системы. Но в этом случае в системе существуют главные координаты и вместо изучения системы вида (7.6) достаточно рассмотреть систему
\[
\ddot{x}_{i}+\omega_{i}^{2} x_{i}=F_{i}(t) \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]
где $F_{i}(t)$ – обобщенная внешняя сила, отнесенная к главной координате $x_{i}$. Решение этих систем имеет вид (7.4), причем коэффициенты разложений определяются формулами (7.5).
Решение линейной системы представимо в виде суммы двух функций. Первая из этих функций имеет период внешней силы, а другая является суперпозицией главных колебаний. Наибольший практический интерес представляет изучение первой функции. В самом деле, хотя мы рассматриваем консервативную систему, но при этом понимаем, что речь идет о некоторой модели реальной системы, т. е. системы, которая находится всегда под действием некоторых (пусть очень малых) сил, рассеивающих энергию. Следовательно, свободные колебания системы неизбежно затухнут с течением времени. Что касается вынужденных колебаний, то они все время будут поддерживаться действием внешних сил и, следовательно, через некоторый промежуток времени наблюдатель будет отмечсть в системе только те колебания, которые генерированы внешним воздействием. Поэтому основное внимание в дальнейшем мы посвятим изучению частных решений систем вида (7.6) или (7.9), имеющих период внешних воздействий (который, по предположению, равен $2 \pi$ ). Формулы (7.5) и (7.8) имеют смысл лишь тогда, когда среди собственных частот отсутствуют частоты, равные целым натуральным числам. В противном случае в системе (7.6) не могут быть индуцированы периодические колебания: частные решения системы будут содержать векоеые слагаемые. Это значит, что амплитуда колебаний, которые возбуждаются, неограниченно возрастает. В этом случае говорят о явлении резонанса в линейных случаях. Переходя к изучению квазилинейных систем, естественно поставить следующие вопросы.
a) Пусть среди собственных частот нет частот, равных целым числам. Этот случай называется нерезонансным. Какой в этих условиях будет форма колебаний, генерируемых внешними воздействиями?
б) Предположим, что имеет место резонанс, т. е. среди собственных колебаний есть колебания, период которых равен (или кратен) $2 \pi$. Может ли существование малой нелинейности привести к возможности генерирования в системе колебаний neриода $2 \pi$ ?
в) Какие другие формы периодических движений могут возникать в квазилинейной системе под действием внешних периодических сил?
