Умножим обе части уравнения (6.6) скалярно на вектор $\delta x$. Так как
\[
(\delta \dot{x} \cdot \delta x)=\frac{1}{2} \frac{d}{d t} \delta x^{2}=\frac{1}{2} \frac{d}{d t} \sum \delta x_{i}^{2},
\]

то уравнение (6.6) мы можем записать в виде
\[
\frac{d \rho^{2}}{d t}=2(A \delta x \cdot \delta x) .
\]

Здесь через $\rho$ обозначен радиус сферы «вариаций»
\[
\rho=\sqrt{\sum \delta x_{i}^{2}} .
\]

Далее заметим, что
\[
\begin{aligned}
2(A \delta x \cdot \delta x)=\sum_{i, j} q_{i j} \delta x_{i} \delta x_{j}+\sum_{i j} q_{j i} \delta x_{i} \delta x_{j} & = \\
& =\sum_{i, j} r_{i j} \delta x_{i} \delta x_{j}=(R \delta x \cdot \delta x),
\end{aligned}
\]

где $R$ — уже симметричная матрица, так как $r_{i j}=q_{i j}+q_{j i}$.
Итак, выражение (6.9) имеет следующий вид:
\[
\frac{d \rho^{2}}{d t}=(R \delta x \cdot \delta x) .
\]

Отсюда видно, что для асимптотической устойчивости тривиального решения (6.6) (т. е. для того чтобы $\rho^{2} \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$ ) достаточно, чтобы квадратичная форма $(R \delta x \cdot \delta x)$ была знакоопределенно отрицательной. Следовательно, условиями устойчивости стационарного решения будут условия знакоопределенной отрицательности этой квадратичной формы.

Вспомним теорему Сильвестра: для того чтобы квадратичная форма $\sum_{i, j} a_{i j} x_{i} x_{j}$ была определенно положительной, необходимо и достаточно, чтобы ее коэффициенты $a_{i j}$ удовлетворяли следующим неравенствам:

Для того чтобы квадратичная форма ( $R \delta x \cdot \delta x$ ) была знакоопределенно отрицательной, необходимо и достаточно, чтобы форма — $(R \delta x \cdot \delta x)$ была определенно положительной. Но, если положить $-r_{i j}=a_{i j}$, то
\[
\Delta_{1}=r_{11}=-\tilde{\Delta}_{1}, \quad \Delta_{2}=\left|\begin{array}{ll}
r_{11} & r_{12} \\
r_{21} & r_{22}
\end{array}\right|=\tilde{\Delta}_{2}
\]

и вообще
\[
\Delta_{k}=(-1)^{k} \tilde{\Delta}_{k} .
\]

Поэтому из условий (6.11) мы сразу находим достаточные условия устойчивости

где $k$ — размерность матрицы $A$.
При $k=1$ условия (6.12) сводятся к одному условию (6.8).