В предыдущей главе мы рассмотрели несколько примеров консервативных систем с одной степенью свободы и убедились, что при известных условиях фазовые траектории в окрестности положения равновесия представляют собой замкнутые кривые, т. е. движения, которые они описывают, являются периодическими. Несмотря на то, что этот факт был продемонстрирован на частных примерах, он имеет вполне общий характер.
Рассмотрим уравнение
\[
\ddot{z}+f(z)=0,
\]

где функция $f(z)$ такова, что $f(0)=0$, а потенциальная энергия
\[
\Pi=\int f(z) d z
\]

в точке $z=0$ имеет изолированный минимум. Тогда из интеграла энергии мы находим
\[
\dot{z}=\sqrt{2(C-\Pi)}
\]

где $C$ – постоянная энергии. Применяя метод фазовой плоскости, сразу убеждаемся, что траектории этой системы в достаточно малой окрестности положения равновесия замкнутые. В самом деле, функция II $(z)$ имеет в окрестности точки $z=0$ вид, изображенный на рис. 12 , где показана также структура фазовой плоскости этого уравнения. Таким образом, все решения в окрестности минимума потенциальной энергии периодические. Этот факт был получен при весьма общих предположениях о функции $f(z)$ : она должна быть интегрируемой.