Рассмотрим колебания консервативной системы около положения равновесия. Предположим, что положением равновесия является начало координат. В этом случае кинетическая и потенциальная энергия могут быть записаны в виде
\[
\left.\begin{array}{c}
T=\sum_{i, j} a_{i j} \dot{\tilde{x}}_{i} \tilde{x}_{j}, \\
\Pi=\sum_{i, j} b_{i j} \tilde{x}_{i} \tilde{x}_{j}+\Psi\left(\tilde{x}_{i}, \ldots, \tilde{x}_{n}\right),
\end{array}\right\}
\]
где $a_{i j}=a_{j i}, b_{i j}=b_{j i}$ и разложение функции $\Psi$ начинается с величин третьего порядка малости. (Мы рассматриваем задачи только с аналитическими функциями.) Уравнения движения этой системы могут быть записаны в форме Лагранжа
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{x}_{i}}+\frac{\partial \mathrm{II}}{\partial \tilde{x}_{i}}=0
\]
или в раскрытом виде
\[
\sum_{j=1}^{n} a_{i j} \ddot{\tilde{x}}_{j}+\sum_{j=1}^{n} b_{i j} \tilde{x}_{j}+\psi_{i}=0 \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]
где $\psi_{i}$-компоненты вектора $
abla \Psi$
\[
\psi_{i}=\frac{\partial \Psi}{\partial \tilde{x}_{i}}
\]
являются нелинейными функциями своих аргументов, разложение которых начинается с членов второго порядка малости.
Обозначим через $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$ корни уравнения
\[
\left|-\lambda a_{i j}+b_{i j}\right|=0 \text {. }
\]
Уравнение (4.27) называется вековым. Так как квадратичная форма $\sum_{i, j} a_{i j} \dot{x}_{i} \dot{x}_{j}$ положительно определенная, то, согласно известной теореме, корни векового уравнения действительны. Числа $\lambda_{i}$ могут быть как положительными, так и отрицательными. Повторим теперь рассуждения, которые нас привели к системе (4.5).
Введем новые переменные
\[
x_{k}=\sum_{i, j} A_{i}^{(k)} a_{i j} \tilde{x}_{j},
\]
где числа $A_{i}^{(k)}$ определяются так, чтобы равенство
\[
\sum_{i, j} A_{i}^{(k)} a_{i j} \tilde{x}_{j}=\frac{1}{\lambda_{k}} \sum_{i, j} b_{i j} A_{i}^{(k)} \tilde{x}_{j}
\]
имело место для любых $\tilde{x}_{i}$, т. е. чтобы $A_{i}^{(k)}$ удовлетворяли системе однородных уравнений
\[
\lambda_{k} \sum_{i} A_{i}^{(k)} a_{i j}=\sum_{i} A_{i}^{(k)} b_{i j} \quad(j=1,2, \ldots, n) .
\]
Система уравнений (4.29) разрешима, так как $\lambda_{k}$ – корень уравнения (4.27).
Итак, для каждого корня $\lambda_{i}$ мы определяем систему чисел $A_{i}^{(k)}$ и новую переменную $x_{k}$. Рассматривая равенства (4.28) как систему уравнений относительно $\tilde{\boldsymbol{x}}_{j}$, получим
\[
\tilde{x}_{j}=\sum_{k=1}^{n} \alpha_{i k} x_{k} \quad(j=1,2, \ldots, n) .
\]
Можно показать, что системы (4.28) – (4.30) невырожденные. Составим теперь дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют новые переменные
\[
\ddot{x}_{k}=\sum_{i, j} A_{i}^{(k)} a_{i j} \ddot{\tilde{x}}_{j}=-\sum_{i, j}^{(k)} A_{i}^{(k)} b_{i j} \tilde{x}_{j}+\bar{\varphi}_{k}\left(\tilde{x}_{1}, \ldots ; \tilde{x}_{n}\right),
\]
где $\bar{\varphi}_{k}=-\sum_{i} A_{i}^{(k)} \psi_{i}$.
Используя определения чисел $A_{i}^{(k)}$ и делая замену (4.30), получим
\[
\ddot{x}_{k}+\lambda_{k} x_{k}=\varphi_{k} \quad\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]
где
\[
\varphi_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\tilde{\varphi}_{k}\left(\tilde{x}_{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \ldots, \tilde{x}_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)
\]
представляют собой аналитические функции своих переменных, разложение которых начинается с членов второго порядка ма. лости.
Функции $x_{k}(t)$ называются главными координатами системы (4.26), а числа $\omega_{k}=\sqrt{\lambda_{k}}$ (для $\lambda_{k}>0$ ) – собственными (или главными) частотами. Если ограничиться линейными членами, то система (4.31) примет вид
\[
\ddot{x}_{k}+\lambda_{k} x_{k}=0 \quad(k=1,2, \ldots, n) .
\]
Форма системы (4.32) показывает, что линейные колебания консервативных систем можно представить как суперпозицию колебаний математических маятников (4.32).
Кинетическая и потенциальная энергия системы (4.32) имеет вид
\[
T=\sum_{k} \dot{x}_{k}^{2}, \quad \Pi=\sum_{k} \lambda_{k} x_{k}^{2} .
\]
Таким образом, при помощи преобразования (4.30) формы
\[
T=\sum_{i, j} a_{i j} \dot{\tilde{x}}_{i} \dot{\tilde{x}}_{j} \quad \text { и } \quad \Pi=\sum_{i, j} b_{i j} \tilde{x}_{i} \tilde{x}_{j}
\]
приведены одновременно к диагональному виду.
Выражение для энергий (4.33) показывает, что энергия каждого из маятников (4.32) остается все время постоянной. Никакого обмена энергии между главными колебаниями линейных систем не существует. В нелинейных системах (4.31) ситуация значительно более сложная.
