В безрязмерных координатах уравнение Дюффинга имеет вид
\[
\ddot{x}+x-x^{3}=0 .
\]

Это уравнение изучалось в главе I; тогда мы построили его точное решение в эллиптических функциях. Метод Ляпунова позволяет легко найти его приближенное решение в тригонометрических функциях.
Начальные условия зададим в виде
\[
t=0: \quad x=c, \quad y=0 .
\]

Уравнение Дюффинга описывает колебание некоторой консервативной системы, а поскольку последняя является частным случаем системы Ляпунова, то для ее исследования можно использовать метод Ляпунова.

При решении задач, сводящихся к одному уравнению второго порядка, нет необходимости переходить к системе уравнений первого порядка.

В уравнении (3.28) сделаем замену (3.12), после чего оно примет вид
\[
\frac{d^{2} x}{d \tau^{2}}=\left(x^{3}-x\right)\left(1+2 h_{2} c^{2}+\ldots\right) .
\]

Положим
\[
x=c x^{(1)}+c^{2} x^{(2)}+\ldots
\]

Функции $x^{(i)}$ удовлетворяют следующим уравнениям:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x^{(1)}}{d \tau^{2}}=-x^{(1)}, \quad \frac{d^{2} x^{(2)}}{d \tau^{2}}=-x^{(2)}, \\
\frac{d^{2} x^{(3)}}{d \tau^{2}}=-x^{(3)}-2 h_{2} x^{(1)}+x^{(1)^{3}}
\end{array}\right\}
\]

ит.д.
Начальные условия для этих систем определяются так:
\[
t=0: \quad x^{(1)}=1, \quad \dot{x}^{(1)}=x^{(2)}=\dot{x}^{(2)}=\ldots=0 .
\]

Первое и второе уравнения системы (3.21) с учетом начальных условий (3.30) нам дадут
\[
x^{(1)}=\cos \tau, \quad x^{(2)} \equiv 0 .
\]

Тогда третье уравнение системы (3.29) примет вид
\[
\frac{d^{2} x^{(3)}}{d \tau^{2}}=-x^{(3)}-2 h_{2} \cos \tau+\cos ^{3} \tau .
\]

Так как
\[
\cos ^{3} \tau=\frac{3}{4} \cos \tau+\frac{1}{4} \cos 3 \tau,
\]

то
\[
\frac{d^{2} x^{(3)}}{d \tau^{2}}=-x^{(3)}-\cos \tau\left(2 h_{2}-\frac{3}{4}\right)+\frac{1}{4} \cos 3 \tau .
\]

Для того чтобы уравнение (3.31) имело периодическое решение периода $2 \pi$, необходимо и достаточно, чтобы в правой части этого уравнения не было слагаемых, содержащих $\cos \tau$ или $\sin \tau$. Отсюда
\[
h_{2}=\frac{3}{8} \text {. }
\]

Итак,
\[
\frac{d^{2} x^{(3)}}{d \tau^{2}}=-x^{i 3)}-\frac{1}{4} \cos 3 \tau \text {. }
\]

Периодическим решением уравнения (3.32), удовлетворяющим начальным условиям (3.30), будет функция
\[
x^{(3)}=\frac{1}{32} \cos \tau-\frac{1}{32} \cos 3 \tau .
\]

Собирая полученные результаты, общее решение уравнения Дюффинга мы можем записать в форме
\[
\begin{array}{r}
x=c \cos \left(\frac{t+t_{0}}{1+\frac{3}{8} c^{2}+\ldots}\right)+c^{3}\left\{\frac{1}{32} \cos \left(\frac{t+t_{0}}{1+\frac{3}{8} c^{2}+\ldots}\right)-\right. \\
\left.-\frac{1}{32} \cos \left(\frac{3\left(t+t_{0}\right)}{1+\frac{3}{8} c^{2}+\ldots}\right)\right\}+c^{5}\{\ldots\}+\ldots
\end{array}
\]