Вернемся теперь к задаче, поставленной во введении. Рассмотрим частный случай системы (*), которую мы условились называть системой с вращающейся фазой:
$$\begin{array}{l}\dot{x}=\epsilon X(x,y,\epsilon ),\\ \dot{y}=\omega (x)+\epsilon Y(x,y,\epsilon ),\end{array}\}$$

где $x$ — вектор размерности $n$, а $y$ — скаляр. Функции $X$ и $Y$ будем предполагать периодическими функциями переменной $y$ периода $T$. Не ограничивая общности, можно принять $T=2\pi$.

Поставим задачу отыскания такой замены переменных, которая позволила бы отделить быстрые движения от медленных. Для этого вместо $x$ и $y$ введем новые переменные $\overline{x}$ и $\overline{y}$ при помощи формул
$$\begin{array}{l}x=\overline{x}+\epsilon u_1(\overline{x},\overline{y})+{\epsilon }^2{u}_2(\overline{x},\overline{y})+\dots ,\\ y=\overline{y}+\epsilon v_1(\overline{x},\overline{y})+{\epsilon }^2{v}_2(\overline{x},\overline{y})+\dots \end{array}\}$$

Функции $u_i(\overline{x},\overline{y})$ и $v_i(\overline{x},\overline{y})$ пока еще неизвестны и должны быть определены в процессе решения задачи.

Потребуем, чтобы в результате замены переменных, определяемой формулами (4.2), вектор-функция $\overline{x}(t)$ удовлетворяла системе уравнений, не содержащей «быстрой» переменной $\overline{y}(t)$. Точно так же потребуем, чтобы и скалярная функция $\overline{y}(t)$ удовлетворяла уравнению, правая часть которого не содержит $\overline{y}(t)$; другими словами, потребуем, чтобы новые переменные $\overline{x}$ и $\overline{y}$ удовлетворяли системе уравнений вида
$$\begin{array}{l}\dot{\overline{x}}=\mathit{\epsilon }A(\overline{x},\mathit{\epsilon })=\mathit{\epsilon }{A}_1(\overline{x})+{\mathrm{e}}^2{A}_2(\overline{x})+\dots ,\\ \dot{\overline{y}}={\omega }^{\ast }(\overline{x},\mathit{\epsilon })=\omega (\overline{x})+\epsilon B_1(\overline{x})+{\mathit{\epsilon }}^2{B}_2(\overline{x})+\dots \end{array}\}$$

Функции $A$ и $\omega$, входящие в эти уравнения, а следовательно, и коэффициенты их разложений по степеням $\epsilon$ также заранее неизвестны.

Если нам удастся найти интересующую нас замену переменных, то мы придем к системе уравнений (4.3), которая значительно проще исходной. В самом деле, в системе (4.3) медленное движение, скорость которого имеет порядок $O(\epsilon )$, полностью отделено от быстрого, скорость которого имеет порядок 1. Поэтому система уравнений, определяющая вектор $\overline{x}$, интегрируется независимо от уравнения, определяющего скаляр $\overline{y}$. Поскольку производная $\dot{\overline{x}}$ мала, а правые части этого векторного уравнения не зависят от $\overline{y}$, то оно может интегрироваться с большим шагом по времени. Определив $\overline{x}(t)$, мы найдем переменную $\overline{y}(t)$, вычислив квадратуру.

Для того чтобы сделать задачу определенной, подчиним функции $u_i$ и $v_i$ дополнительному ограничению: будем их считать ограниченными функциями $\overline{y}$ при $\overline{y}\to \mathrm{\infty }$. Такое ограничение на класс допустимых функций естественно, поскольку оно позволяет для любых $\overline{y}$ считать величины ${\epsilon }^k{u}_k$ и ${\epsilon }^k{v}_k$ малыми порядка $O\left({\epsilon }^k\right)$.

Итак, задача отыскания преобразования (4.2) состоит в определении функций $u_i(\overline{x},\overline{y}),v_i(\overline{x},\overline{y}),A_i(\overline{x})$ и $B_i(\overline{x})$. Функцин $A_i(\overline{x})$ и $u_i(\overline{x},\overline{y})$ — это вектор функции своих переменных, а $B_i(\overline{x})$ и $v_i(\overline{x},\overline{y})$ — скаляры.