Вернемся теперь к задаче, поставленной во введении. Рассмотрим частный случай системы (*), которую мы условились называть системой с вращающейся фазой:
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=\varepsilon X(x, y, \varepsilon), \\
\dot{y}=\omega(x)+\varepsilon Y(x, y, \varepsilon),
\end{array}\right\}
\]
где $x$ – вектор размерности $n$, а $y$ – скаляр. Функции $X$ и $Y$ будем предполагать периодическими функциями переменной $y$ периода $T$. Не ограничивая общности, можно принять $T=2 \pi$.
Поставим задачу отыскания такой замены переменных, которая позволила бы отделить быстрые движения от медленных. Для этого вместо $x$ и $y$ введем новые переменные $\bar{x}$ и $\bar{y}$ при помощи формул
\[
\left.\begin{array}{l}
x=\bar{x}+\varepsilon u_{1}(\bar{x}, \bar{y})+\varepsilon^{2} u_{2}(\bar{x}, \bar{y})+\ldots, \\
y=\bar{y}+\varepsilon v_{1}(\bar{x}, \bar{y})+\varepsilon^{2} v_{2}(\bar{x}, \bar{y})+\ldots
\end{array}\right\}
\]
Функции $u_{i}(\bar{x}, \bar{y})$ и $v_{i}(\bar{x}, \bar{y})$ пока еще неизвестны и должны быть определены в процессе решения задачи.
Потребуем, чтобы в результате замены переменных, определяемой формулами (4.2), вектор-функция $\bar{x}(t)$ удовлетворяла системе уравнений, не содержащей «быстрой» переменной $\bar{y}(t)$. Точно так же потребуем, чтобы и скалярная функция $\bar{y}(t)$ удовлетворяла уравнению, правая часть которого не содержит $\bar{y}(t)$; другими словами, потребуем, чтобы новые переменные $\bar{x}$ и $\bar{y}$ удовлетворяли системе уравнений вида
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{\bar{x}}=\boldsymbol{\varepsilon} A(\bar{x}, \boldsymbol{\varepsilon})=\boldsymbol{\varepsilon} A_{1}(\bar{x})+\mathrm{e}^{2} A_{2}(\bar{x})+\ldots, \\
\dot{\bar{y}}=\omega^{*}(\bar{x}, \boldsymbol{\varepsilon})=\omega(\bar{x})+\varepsilon B_{1}(\bar{x})+\boldsymbol{\varepsilon}^{2} B_{2}(\bar{x})+\ldots
\end{array}\right\}
\]
Функции $A$ и $\omega$, входящие в эти уравнения, а следовательно, и коэффициенты их разложений по степеням $\varepsilon$ также заранее неизвестны.
Если нам удастся найти интересующую нас замену переменных, то мы придем к системе уравнений (4.3), которая значительно проще исходной. В самом деле, в системе (4.3) медленное движение, скорость которого имеет порядок $O(\varepsilon)$, полностью отделено от быстрого, скорость которого имеет порядок 1. Поэтому система уравнений, определяющая вектор $\bar{x}$, интегрируется независимо от уравнения, определяющего скаляр $\bar{y}$. Поскольку производная $\dot{\bar{x}}$ мала, а правые части этого векторного уравнения не зависят от $\bar{y}$, то оно может интегрироваться с большим шагом по времени. Определив $\bar{x}(t)$, мы найдем переменную $\bar{y}(t)$, вычислив квадратуру.
Для того чтобы сделать задачу определенной, подчиним функции $u_{i}$ и $v_{i}$ дополнительному ограничению: будем их считать ограниченными функциями $\bar{y}$ при $\bar{y} \rightarrow \infty$. Такое ограничение на класс допустимых функций естественно, поскольку оно позволяет для любых $\bar{y}$ считать величины $\varepsilon^{k} u_{k}$ и $\varepsilon^{k} v_{k}$ малыми порядка $O\left(\varepsilon^{k}\right)$.
Итак, задача отыскания преобразования (4.2) состоит в определении функций $u_{i}(\bar{x}, \bar{y}), v_{i}(\bar{x}, \bar{y}), A_{i}(\bar{x})$ и $B_{i}(\bar{x})$. Функцин $A_{i}(\bar{x})$ и $u_{i}(\bar{x}, \bar{y})$ – это вектор функции своих переменных, а $B_{i}(\bar{x})$ и $v_{i}(\bar{x}, \bar{y})$ – скаляры.
