Предположим єначала, что ранг системы (3.1) равен единице.
Для того чтобы не усложнять изложения, предположим сразу, что независимые переменные выбраны так, что матрица $\left\|a_{i j}^{(p)}\right\|$ уже приведена к жордановой форме.
Рассмотрим последовательно случаи (3.4) и (3.5). Поскольку характер корней, а следовательно, и вид жордановой формы зависят от времени, то такой подход имеет смысл только в том случае, если рассматриваемая ситуация не изменяется в течение всего исследуемого промежутка времени.
Если корни кратные, но элементарные делители простые, то систему уравнений (3.1) можно переписать в следующей форме:
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{y}_{1}+\left(\lambda \mu+a_{11}^{(0)}+\ldots\right) y_{1}+\left(a_{12}^{(0)}+\ldots\right) y_{2}=0 \\
\dot{y}_{2}+\left(a_{21}^{(0}+\ldots\right) y_{1}+\left(\lambda \mu+a_{22}^{(0)}+\ldots\right) y_{2}=0 .
\end{array}\right\}
\]
Точками обозначены члены более высокого порядка относительно $1 / \lambda$.
Сделаем замену переменных
\[
y_{1}=e^{-\lambda \int_{0}^{t} \mu(t) d t} z_{1}, \quad y_{2}=e^{-\lambda \int_{0}^{t} \mu(t) d t} z_{2} .
\]
Система уравнений (3.6) после такой замены уже не будет содержать слагаемых первого порядка относительно $\lambda$
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{z}_{1}+\left(a_{11}^{(0)}+\ldots\right) z_{1}+\left(a_{12}^{(0)}+\ldots\right) z_{2}=0 \\
\dot{z}_{2}+\left(a_{21}^{(0)}+\ldots\right) z_{1}+\left(a_{22}^{(0)}+\ldots\right) z_{2}=0 .
\end{array}\right\}
\]
Если бы коэффициенты $a_{i j}$ не содержали слагаемых порядка $\lambda^{-1}$ и более высокого, то задача построения асимптотики была бы исчерпана. В самом деле, система (3.8) в этом случае была бы следующего вида:
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{z}_{1}+a_{11}^{(0)} z_{1}+a_{12}^{(0)} z_{2}=0, \\
\dot{z}_{2}+a_{21}^{(0)} z_{1}+a_{22}^{(0)} z_{2}=0 .
\end{array}\right\}
\]
Обозначим через $z_{1 i}$ и $z_{2 i}(i=1,2)$ фундаментальные решения системы (3.8). Эти функции могут быть получены как результат численного решения двух задач Коши со следующими начальными данными:
\[
\text { I. }\left\{\begin{array}{l}
z_{11}(0)=0, \\
z_{21}(0)=1 .
\end{array}\right.
\]
II. $\left\{\begin{array}{l}z_{12}(0)=1, \\ z_{22}(0)=0 .\end{array}\right.$
Тогда асимптотические представления общего интеграла системы (3.6) будут иметь вид
\[
\left.\begin{array}{l}
y_{1}=e^{-\lambda \int_{0}^{t} \mu(t) d t}\left(C_{1} z_{22}+C_{2} z_{12}\right), \\
y_{2}=e^{-\lambda \int_{0}^{t} \mu(t) d t}\left(C_{1} z_{21}+C_{2} z_{22}\right) .
\end{array}\right\}
\]
Если разложения коэффициентов $a_{i j}$ содержат отрицательные степени параметра $\lambda$, то для построения функций $z_{i}$ можно использовать методы теории возмущений, т. е. искать решение системы (3.7) в виде рядов по степеням $\lambda^{-1}$.
Примечание. Предположим, что элементарные делители не простые и жорданова нормальная форма имеет вид (3.5), т. е. система (3.6) будет такой:
\[
\left.\begin{array}{r}
\dot{y}_{1}+\left(\lambda \mu+a_{11}^{(0)}+\ldots\right) y_{1}+\left(\lambda+a_{12}^{(0)}+\ldots\right) y_{2}=0, \\
\dot{y}_{2}+\left(a_{21}^{(0)}+\ldots\right) y_{1}+\left(\lambda \mu+a_{22}^{(0)}+\ldots\right) y_{2}=0 .
\end{array}\right\}
\]
Если решение системы (3.6′) искать в форме (3.7), то система уравнений относительно $z_{i}$ будет содержать первые степени параметра $\lambda$ и, следоватєльно, представлять решения в форме (3.10) в общем случае уже нельзя.
