Рассмотрим теперь снова уравнение (7.5), предполагая, что функция $a(t)$ обращается в нуль в точке $t=0$. В этом случае характеристическое уравнение (в том смысле, в каком мы его понимали в первых параграфах этой главы)
\[
\mu^{2}+a(t)=0
\]

будет иметь нулевые корни, и следовательно, теория, развитая в начале этой главы, неприменима. Поэтому для построения асииптотики в окрестности точки $t=0$, воспользуемся соображениями этого параграфа.

В качестве эталонного уравнения мы подберем уравнение, коэффициенты которого имеют в точке $t=0$ такую же особәнность, как и функция $a(t)$. Рассмотрим для определенности два случая:
A) $a(t)=t q(t), \quad q(0)
eq 0$;
Б) $a(t)=t^{2} q(t), \quad q(0)
eq 0$.

В качестве эталонных уравнений естественно принять следующее:
для случая A)
\[
\frac{d^{2} \Phi}{d x^{2}}+x \Phi=0,
\]

для случая Б)
\[
\frac{d^{2} \Phi}{d x^{2}}+x^{2} \Phi=0
\]

Характеристические уравнения (7.10) будут соответственно иметь следующий вид:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d x}{d t} \sqrt{x}=\lambda \sqrt{t q(t)}, \\
\frac{d x}{d t} x=\lambda t \sqrt{q(t)} .
\end{array}
\]

Рассмотрим сначала уравнение (7.19); оно легко интегрируется в квадратурах, и мы находим функцию
\[
x(t)=\lambda^{2 / 3}\left(\frac{3}{2} \int_{0}^{t} \sqrt{t q(t)} d t\right)^{2 / 3} .
\]

Таким образом, функция $\psi(t)$ будет такой:
\[
\psi(t)=\left(\frac{3}{2} \int_{0}^{t} \sqrt{t q(t)} d t\right)^{2 / s} .
\]

Вычислим еще функцию $\dot{\psi}(t)$
\[
\dot{\psi}(t)=\frac{\sqrt{\frac{1}{t q(t)}}}{\sqrt{\frac{3}{2} \int_{0}^{t} \sqrt{t q(t)} d t}} .
\]

Таким образом, на основании формулы (7.16) и (7.15) мы можем написать следующее приближенное выражение для линейно независимых интегралов уравнения (7.5) в том случае, когда $a=t q(t)$ :
\[
y_{1,2}=\frac{C_{1,2} \sqrt[6]{\frac{3}{2} \int_{0}^{t} a(t) d t}}{\sqrt[4]{a(t)}} \Phi_{1,2}\left(\lambda^{3 / 2}\left(\frac{3}{2} \int_{0}^{t} \sqrt{a(t)} d t\right)^{3 / 2}\right) .
\]

Эта формула дает погрешность, порядок которой равен $O\left(\lambda^{-2 / 3}\right)$. Функции $\Phi_{1,2}(x)$ – это линейно независимые решения уравнения (7.17), которое называется уравнением Эйри. Функции $\Phi_{i}(x)$ называются функциями Эйри. Они достаточно хорошо изучены, и имеюгся таблицы значений этих функций, почти столь же подробные, как и таблица тригонометрических функций.

Функции $y_{i}(t)$, определенные формулами (7.24), это прямой аналог WBKJ-решений, которые рассматривались в §1 этой главы.

Рассмотрим теперь случай Б). Так же, как и в случае А), характеристическое уравнение (7.20) легко интегрируется, и мы находим
\[
\left.\begin{array}{c}
x(t)=\lambda^{1 / 2} \Psi(t), \quad \psi(t)=\sqrt{2 \int_{0}^{t} \sqrt{a(t)} d t} \\
\psi(t)=\sqrt{\frac{a(t)}{2 \int_{0}^{t} \sqrt{a(t)} d t}} .
\end{array}\right\}
\]

Отбрасывая члены, порядок которых $O\left(\lambda^{-1 / 2}\right)$, мы получаем следующие приближенные представления для частных решений уравнения (7.5) для того случая, когда $a(t)=t^{2} q(t)$ :
\[
y_{1,2}=C_{1,2} \sqrt[4]{\frac{\int_{0}^{t} \sqrt{a(t)} d t}{a(t)}} \Phi_{1,2}\left(\lambda^{1 / 2} \sqrt{2 \int \sqrt{a(t)} d t}\right) .
\]

Функции $\Phi_{i}(t)$, которые входят в формулу (7.26), это линейно независимые решения уравнения (7.18). Полученное уравнение в свою очередь сводится к уравнению Бесселя. Общее решение уравнения (7.18) можно представить в виде
\[
\Phi=C_{1} \Phi_{1}(x)+C_{2} \Phi_{2}(x)=\sqrt{x} Z_{1 / 4}\left(\frac{1}{2} x^{2}\right),
\]

где
\[
Z_{1 / 4}(x)=C_{1} J_{1 / 4}(x)+C_{2} N_{1 / 4}(x),
\]
$J_{1 / 4}$ и $N_{1 / 4}$ – функции Бесселя и Неймана соответственно.
Используя равенство (7.27), мы можем переписать формулу (7.26) в форме
\[
y=\frac{\sqrt{\int \sqrt{a(t)} d t}}{\sqrt[4]{a(t)}} Z_{1 / 4}\left(\lambda \int_{0}^{t} \sqrt{a(t)} d t\right) .
\]

Мы рассмотрели два уравнения типа (7.5), для которых был выбран специальный вид эталонных уравнений. Нетрудно показать, что в этих случаях ряды (7.16) являются асимптотическими.