Выпишем некоторые воспомогательные формулы из теории эллиптических функций Якоби.
a) Функция $z=\mathrm{sn}(u, k)$ (эллиптический синус) определяется так:
\[
z=\operatorname{sn}(u, k)=\sin \varphi(k)=\sin \operatorname{am} u,
\]

где амплитуда $\varphi=\operatorname{am} u$ определяется как обращение эллиптического интеграла
\[
u=\int_{0}^{\varphi} \frac{d \xi}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \xi}} .
\]

Здесь $k$-число, которое называется модулем эллиптической функции, $\sin \varphi$ – периодическая функция периода $2 \pi$. При изменении $\varphi$ на $2 \pi$ величина $u$ изменяется на $T_{u}=\int_{0}^{2 \pi} \frac{d \xi}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \xi}}$ и обратно: при изменении $u$ на $T_{u}$ амплитуда $\varphi$ изменяется на 2л. Следовательно, sn $(u, k)$ – периодическая функция $u$ периода $T_{u}$. Величина
\[
K(k)=\int_{0}^{\pi / 2} \frac{d \xi}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \xi}}
\]

называется полным эллиптическим интегралом первого рода. Так как
\[
\int_{0}^{\pi / 2} \frac{d \xi}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \xi}}=\int_{\pi / 2}^{\pi} \frac{d \xi}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \xi}}=\ldots,
\]

то
\[
T_{u}=4 K(k) .
\]
б) Функция $z=\mathrm{cn}(u, k)$ – эллиптический косинус, определяется равенством
\[
z=\operatorname{cn}(u, k)=\cos \varphi=\cos \text { an } u .
\]
в) Функция дельта амплитуды
\[
z=\operatorname{dn}(u, k)=\Delta \varphi=\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \varphi}=\sqrt{1-k^{2} \sin \operatorname{am} u} .
\]

Эллиптический синус, косинус и дельта амплитуды называются эллиптическими функциями Якоби.
г) Связь между функциями Якоби
\[
\operatorname{sn}^{2} u+\mathrm{cn}^{2} u=1, \quad \mathrm{dn}^{2} u+k^{2} \mathrm{sn}^{2} u=1 .
\]
д) Формулы дифференцирования
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d}{d u} \operatorname{sn} u=\operatorname{cn} u \cdot \operatorname{dn} u, \quad \frac{d}{d u} \operatorname{dn} u=-k^{2} \operatorname{sn} u \operatorname{cn} u, \\
\frac{d}{d u} \operatorname{cn} u=-\operatorname{sn} u \operatorname{dn} u .
\end{array}\right\}
\]