Существует способ получения приближенных формул (1.5), отличный от изложенного в начале параграфа. Этот способ основан на сравнении исходного уравнения с некоторым эталонным. Такой подход, как мы в этом убедимся, позволит нам построить асимптотические решения в тех случаях, когда функция обращается в нуль.
В этом параграфе мы рассматриваем уравнение
где — большой параметр, а функция не меняет знака на рассматриваемом интервале времени. Решение этого уравнения мы разыскивали в форме (1.2), другими словами, предполагалось, что искомое решение близко к решению уравнения вида
где штрих означает дифференцирование по некоторому переменному . Уравнение
условимся называть эталонным.
Сделаем замену независимого переменного
тогда
Используя формулу (1.24), перепишем уравнение (1.22)
Сделаем теперь такую замену зависимого переменного, которая позволит исключить :
После этой замены уравнение (1.25) примет вид
где
Потребуем теперь, чтобы уравнение (1.26), если отбросить , совпадало с эталонным уравнением (1.23). Для этого достаточно выбрать функцию таким образом, чтобы
откуда
Оценим функцию на основании (1.27)
Используя это равенство, мы можем выразить функцию через функцию и ее производные
Это выражение показывает, что если функция изменяется медленно, т. е. ее производные много меньше единицы, а ее значение на исследуемом интервале времени не обращается в нуль, то
и в уравнении (1.26) слагаемое, содержащее функцию , можно отбросить, поскольку первое слагаемое имеет порядок единицы. Тогда уравнение (1.26) упрощается
и после выбора , согласно условию (1.27), мы получим эталонное уравнение (1.23). Следовательно,
или, возвращаясь к старому переменному,
Таким образом, для неизвестной функции мы получаем
т. е. мы снова пришли к формулам (1.5).
Оба способа рассуждения, которые нас привели к формулам (1.5) или (1.29), возникли при изучении прикладных задач и каждый из них имеет свои достоинства.