Существует способ получения приближенных формул (1.5), отличный от изложенного в начале параграфа. Этот способ основан на сравнении исходного уравнения с некоторым эталонным. Такой подход, как мы в этом убедимся, позволит нам построить асимптотические решения в тех случаях, когда функция $\omega(t)$ обращается в нуль.
В этом параграфе мы рассматриваем уравнение
\[
\ddot{y}+\lambda^{2} f(t) y=0,
\]
где $\lambda$ – большой параметр, а функция $f(t)$ не меняет знака на рассматриваемом интервале времени. Решение этого уравнения мы разыскивали в форме (1.2), другими словами, предполагалось, что искомое решение близко к решению уравнения вида
\[
x^{\prime \prime} \pm x=0 \text {, }
\]
где штрих означает дифференцирование по некоторому переменному $\tau(t)$. Уравнение
\[
x^{\prime \prime}+x=0
\]
условимся называть эталонным.
Сделаем замену независимого переменного
\[
t=t(\tau)
\]
тогда
\[
\dot{y}=\frac{y^{\prime}}{t^{\prime}}, \quad \ddot{y}=\frac{y^{\prime \prime} t^{\prime}-y^{\prime} t^{\prime \prime}}{t^{\prime 2}} .
\]
Используя формулу (1.24), перепишем уравнение (1.22)
\[
y^{\prime \prime}-y^{\prime \prime} t^{\prime \prime}+22^{\prime 2} y=0 .
\]
Сделаем теперь такую замену зависимого переменного, которая позволит исключить $y^{\prime}$ :
\[
y=\sqrt{t^{\prime}} z .
\]
После этой замены уравнение (1.25) примет вид
\[
z^{\prime \prime}+\left[\lambda^{2} f \sqrt{t^{\prime}}+\varphi(\tau)\right] z=0,
\]
где
\[
\varphi(\tau)=\frac{3}{4} \frac{\left(t^{\prime \prime}\right)^{2}}{\left(t^{\prime}\right)^{2}}-\frac{1}{2} \frac{t^{\prime \prime \prime}}{t^{\prime}} .
\]
Потребуем теперь, чтобы уравнение (1.26), если отбросить $\varphi(t)$, совпадало с эталонным уравнением (1.23). Для этого достаточно выбрать функцию $t(\tau)$ таким образом, чтобы
\[
\lambda^{2} f(t)\left(t^{\prime}\right)^{2}=1,
\]
откуда
\[
\tau= \pm \lambda \int_{0}^{t} \sqrt{f(t)} d t
\]
Оценим функцию $\varphi(\tau)$ на основании (1.27)
\[
\frac{d t}{d \tau}=\frac{1}{\lambda \sqrt{f(t)}} .
\]
Используя это равенство, мы можем выразить функцию $\varphi(\tau)$ через функцию $f(t)$ и ее производные
\[
\varphi(\tau)=\frac{9}{16} \frac{\left(f^{\prime}\right)^{2}}{f^{2}}-\frac{1}{4} \frac{f^{\prime \prime}}{f} .
\]
Это выражение показывает, что если функция $f(\tau)$ изменяется медленно, т. е. ее производные много меньше единицы, а ее значение на исследуемом интервале времени не обращается в нуль, то
\[
|\varphi| \ll 1
\]
и в уравнении (1.26) слагаемое, содержащее функцию $\varphi(t)$, можно отбросить, поскольку первое слагаемое $\lambda^{2} f(t)\left(t^{\prime}\right)^{2}$ имеет порядок единицы. Тогда уравнение (1.26) упрощается
\[
z^{\prime \prime}+\lambda^{2} f(\tau)\left(t^{\prime}\right)^{2} z=0
\]
и после выбора $t(\tau)$, согласно условию (1.27), мы получим эталонное уравнение (1.23). Следовательно,
\[
z=\exp \{ \pm i \tau\}
\]
или, возвращаясь к старому переменному,
\[
z=\exp \left\{ \pm i \lambda \int_{0}^{t} \sqrt{f(t)} d t\right\} .
\]
Таким образом, для неизвестной функции $y(t)$ мы получаем
\[
y=\frac{\text { const }}{\sqrt[4]{\sqrt[f]{(t)}}} \exp \left\{ \pm i \lambda \int_{0}^{t} \sqrt{f(t)} d t\right\}
\]
т. е. мы снова пришли к формулам (1.5).
Оба способа рассуждения, которые нас привели к формулам (1.5) или (1.29), возникли при изучении прикладных задач и каждый из них имеет свои достоинства.
