Частным случаем систем с вращающимся звеном является маятник, движение которого имеет вид
$$\ddot{z}+f(z,t)=0$$

при условии, что его начальная энергия велика. Эта задача сводится к системе типа (7.33), (7.34) заменой
$$t=\xi ,\xi =1.$$

Тогда система уравнений типа (7.35), соответствующая этому уравнению, будет иметь следующий вид:
$$\begin{array}{l}{\xi }^{\prime }=\epsilon ,\\ x^{\prime }=-{\epsilon }_i^{†}(z,\xi ),\\ z^{\prime }=1+\epsilon x.\end{array}\}$$

Повторяя дословно все те рассуждения, которые были приведены в начале параграфа, мы легко получим для этого случая формулы типа (7.15), (7.17)-(7.19), (7.20), (7.22) и (7.23). Возвращаясь затем к старым пєременным, найдем
$$\begin{array}{r}z(t)=(\mathrm{\Omega }-\frac{1}{\mathrm{\Omega }}\overline{\mathrm{\Psi }}\left(t_0\right))t+\frac{1}{{\mathrm{\Omega }}^2}\{\overline{\mathrm{\Psi }}(t)t(\mathrm{\Omega }-\frac{1}{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\Psi }\left(t_0\right))-\\ -\mathrm{\Phi }[t,(\mathrm{\Omega }-\frac{1}{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\Psi }\left(t_0\right))t]\}\end{array}$$

или, вводя новое обозначение для произвольной постоянной
$$\lambda =\mathrm{\Omega }-\frac{1}{\mathrm{\Omega }}\cdot \overline{\mathrm{\Psi }}\left(t_0\right),$$

получим окончательно для величины отклонения маятника следующую асимптотическую формулу:
$$z(t)=\lambda t+\frac{1}{{\lambda }^2}\{\overline{\mathrm{\Psi }}(t)\lambda t-\mathrm{\Phi }(t,\lambda t)\}.$$

Заметим, что асимптотическая формула (7.39) была получена без каких-либо предположений о скорости изменения параметров маятника (7.36). Это обстоятельство является отличительной особенностью задач асимптотики больших энергий. В этих задачах усреднение производится по периоду вращательного движения, который мал, и, следовательно, параметры системы за время одного оборота не успевают получить значительных приращений, даже если их производные и не являются малыми в «реальном масштабе времени».

В качестве примера рассмотрим вращательные движения математического маятника в поле переменной гравитации. Его уравнение можно записать как
$$\ddot{z}+g(t)\sin z=0.$$

Применяя формулу (7.39), мы получим следующий аналог формулы (7.30):
$$z=\lambda t+\frac{g(t)}{{\lambda }^2}\sin \lambda t.$$

Примечание. Решение уравнения (7.29) мы могли получить в эллиптических функциях, и формулу (730) можно было вывести и из точного решения, не прибегая к асимптотической теории. Уравнение (7.29′) уже не интегрируется в элементарных функциях.

Қолебательные движения, изученные в предыдущих параграфах, — это некоторый класс двіжения в окрестности положения равновесия. Движения, которые мы рассматриваем в этом параграфе, — это класс движений, близких к равномерному вращению и имеющих также колебательный характер. Поэтому и здесь уместно ввести понятие амплитуды — максимального отклонения от равномерного вращения. В данном случае, как это следует из формулы $\left({7.30}^{\prime }\right)$, амплитуду $a(t)$ можно определить формулой
$$a=\frac{1}{{\lambda }^2}g(t).$$

Из этого выражения видно, что амплитуда при вращательном движении растет с увеличением напряженности гравиташионного поля. Напомним, что в сйуае колебательных движений амплитуда с увеличением интенсивности гравитационного поля уменьшалась по закону
$$a=\frac{a_0}{\sqrt[4]{g(t)}}.$$

Сопоставление этих двух формул указывает на существование качественных различий в характере колебательных движений в окрестности положения равновесия и равномерного вращения.