Частным случаем систем с вращающимся звеном является маятник, движение которого имеет вид
\[
\ddot{z}+f(z, t)=0
\]
при условии, что его начальная энергия велика. Эта задача сводится к системе типа (7.33), (7.34) заменой
\[
t=\xi, \quad \xi=1 .
\]
Тогда система уравнений типа (7.35), соответствующая этому уравнению, будет иметь следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
\xi^{\prime}=\varepsilon, \\
x^{\prime}=-\varepsilon_{i}^{\dagger}(z, \xi), \\
z^{\prime}=1+\varepsilon x .
\end{array}\right\}
\]
Повторяя дословно все те рассуждения, которые были приведены в начале параграфа, мы легко получим для этого случая формулы типа (7.15), (7.17)-(7.19), (7.20), (7.22) и (7.23). Возвращаясь затем к старым пєременным, найдем
\[
\begin{aligned}
z(t)=\left(\Omega-\frac{1}{\Omega} \bar{\Psi}\left(t_{0}\right)\right) t+\frac{1}{\Omega^{2}}\left\{\bar{\Psi}(t) t\left(\Omega-\frac{1}{\Omega} \Psi\left(t_{0}\right)\right)-\right. \\
\left.-\Phi\left[t,\left(\Omega-\frac{1}{\Omega} \Psi\left(t_{0}\right)\right) t\right]\right\}
\end{aligned}
\]
или, вводя новое обозначение для произвольной постоянной
\[
\lambda=\Omega-\frac{1}{\Omega} \cdot \bar{\Psi}\left(t_{0}\right),
\]
получим окончательно для величины отклонения маятника следующую асимптотическую формулу:
\[
z(t)=\lambda t+\frac{1}{\lambda^{2}}\{\bar{\Psi}(t) \lambda t-\Phi(t, \lambda t)\} .
\]
Заметим, что асимптотическая формула (7.39) была получена без каких-либо предположений о скорости изменения параметров маятника (7.36). Это обстоятельство является отличительной особенностью задач асимптотики больших энергий. В этих задачах усреднение производится по периоду вращательного движения, который мал, и, следовательно, параметры системы за время одного оборота не успевают получить значительных приращений, даже если их производные и не являются малыми в «реальном масштабе времени».
В качестве примера рассмотрим вращательные движения математического маятника в поле переменной гравитации. Его уравнение можно записать как
\[
\ddot{z}+g(t) \sin z=0 .
\]
Применяя формулу (7.39), мы получим следующий аналог формулы (7.30):
\[
z=\lambda t+\frac{g(t)}{\lambda^{2}} \sin \lambda t .
\]
Примечание. Решение уравнения (7.29) мы могли получить в эллиптических функциях, и формулу (730) можно было вывести и из точного решения, не прибегая к асимптотической теории. Уравнение (7.29′) уже не интегрируется в элементарных функциях.
Қолебательные движения, изученные в предыдущих параграфах, – это некоторый класс двіжения в окрестности положения равновесия. Движения, которые мы рассматриваем в этом параграфе, – это класс движений, близких к равномерному вращению и имеющих также колебательный характер. Поэтому и здесь уместно ввести понятие амплитуды – максимального отклонения от равномерного вращения. В данном случае, как это следует из формулы $\left(7.30^{\prime}\right)$, амплитуду $a(t)$ можно определить формулой
\[
a=\frac{1}{\lambda^{2}} g(t) .
\]
Из этого выражения видно, что амплитуда при вращательном движении растет с увеличением напряженности гравиташионного поля. Напомним, что в сйуае колебательных движений амплитуда с увеличением интенсивности гравитационного поля уменьшалась по закону
\[
a=\frac{a_{0}}{\sqrt[4]{g(t)}} .
\]
Сопоставление этих двух формул указывает на существование качественных различий в характере колебательных движений в окрестности положения равновесия и равномерного вращения.
