Вернемся теперь к вопросу о выборе произвольных функций $\varphi_{i}$ и $\psi_{i}$, появляющихся при интегрировании
*) В. М Волосов, ЖВМ и МФ, № 1 (1963).
**) См. В. М. В олосов, ЖВМ и МФ, №4 (1963).

уравнений (4.5), и покажем, что выбор этих функций не влияет на точность получаемых приближенных формул. Этот факт является следствием того обстоятельства, что определение величин $A_{i+1}$ и $B_{i+1}$ производится с учетом величин $\varphi_{i}$ и $\psi_{i}$.

Провелем все рассуждения на примере расчета второго приближения. Предположим, что мы имеем два различных выражения для функции $u_{1}(\bar{x}, \bar{y}): u_{11}$ и $u_{10}$, причем
\[
u_{11}=u_{10}+\varphi(\bar{x}) \text {, }
\]
т. е. мы предполагаем, что эти величины отличаются на произвольную функцию «медленного» переменного $\bar{x}$.

Так как величина $u_{1}$ не входит в выражение первого приближения, то выбор произвольной функции $\varphi(\bar{x})$ не влияет на точность первого приближения. Он может сказаться только на значении второго приближения. В рамках точности, гарантированной этим приближением, выражение (4.24) мы можем заменить через
\[
u_{11}=u_{10}+\varphi\left(x_{1}\right) \text {, }
\]

где $\bar{x}_{1}$ определяется уравнением
\[
\dot{\bar{x}}_{1}=\varepsilon A_{1}\left(\bar{x}_{1}\right) .
\]

Рассмотрим теперь выражение для $A_{2}$. Выпишем в развернутом виде уравнение (4.9), которое определяет эту функцию; согласно (4.4) мы будем иметь
\[
A_{2}(\bar{x})=\frac{\partial \bar{X}}{\partial \bar{x}} u_{1}+\frac{\overline{\partial X}}{\partial \bar{y}} v_{1}+\frac{\overline{\partial X}}{\partial \varepsilon}-\frac{\overline{\partial u_{1}}}{\partial \bar{x}} A_{1}-\frac{\overline{\partial u_{1}}}{\partial \bar{y}} B_{1} .
\]

Полагая в формуле (4.25) один раз $u=u_{10}$, а другой $u=u_{11}$, мы найдем величину
\[
\delta A_{2}=A_{21}-A_{20} .
\]

Она определяется равенством
\[
\delta A_{2}=\frac{\partial X}{\partial \bar{x}} \varphi\left(x_{1}\right)-\frac{\partial \varphi}{\partial \tilde{x}} \bar{X} .
\]

Теперь рассмотрим формулу (4.23). Перепишем ее в следующих двух вариантах:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\bar{x} & =\bar{x}_{1}+\delta \bar{x}+\varepsilon u_{10}\left(\bar{x}_{1}, \bar{y}_{1}\right), \\
\bar{x}^{*} & =\bar{x}_{1}+\delta \bar{x}^{*}+\varepsilon u_{: 0}\left(\bar{x}_{1}, \bar{y}_{1}\right)+\varepsilon \varphi\left(\bar{x}_{1}\right)
\end{array}\right\}
\]

и условимся, что $\bar{x}(0)=\bar{x}^{*}(0)$. Первая из этих формул определяет значение $\bar{x}$, соответствующее $u_{1}=u_{10}$, а вторая $u_{1}=u_{11}$. Покажем, что с точностью, которую гарантирует второе приближение, $x \equiv x^{*}$. Введем обозначения
\[
z=8 x^{*}-\delta x .
\]

Прежде всего заметим, что из условия $x(0)=x^{*}(0)$ сразу следует, что
\[
z(0)=-\varepsilon \varphi\left(x_{1}(0)\right) .
\]

Далее, в рамках точности второго приближения величины $\delta x$ и $\delta x^{*}=\delta x+z$ удовлетворяют следующим уравнениям (см. (4.22)):
\[
\begin{aligned}
\frac{d \delta \bar{x}}{d t} & =\varepsilon\left(\frac{d A_{1}}{d x}\right) \delta \bar{x}+\varepsilon^{2} A_{20}, \\
\frac{d(\delta \bar{x}+z)}{d t} & =\varepsilon\left(\frac{d A_{1}}{d x}\right)(\delta \bar{x}+z)+\varepsilon^{2}\left(A_{20}+\delta A_{20}\right) .
\end{aligned}
\]

Учитывая (4.28) и принимая во внимание выражение для $\delta A_{2}$, мы можем составигь дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет вектор-функция $z(t)$ :
\[
\frac{d z}{d t}=\varepsilon\left(\frac{d A_{1}}{d x}\right) z+\varepsilon^{2} \frac{\overline{\partial X}}{\partial x} \varphi\left(x_{1}\right)-\varepsilon^{2} \bar{X} \frac{d \varphi}{d x},
\]

где
\[
\frac{d A}{d x} \equiv \frac{\overline{d X}}{d x}
\]

согласно (4.27) функция $z(t)$ должна удовлетворять условию $z(0)=-\varphi(x(0))$. Заметим далее, что уравнение (4.30) допускает решение
\[
z(t)=-\varepsilon \varphi(x) .
\]

Для того чтобы показать справедливость этого равенства, вычислим
\[
\frac{d z}{d t}=-\varepsilon \frac{d \varphi}{d \stackrel{x}{x}} \frac{d \bar{x}}{d t}=-\varepsilon^{2} \frac{d \varphi}{d \bar{x}} A_{\mathrm{I}}=-\varepsilon^{2} \frac{d \varphi}{d \bar{x}} \bar{X} .
\]

Подставляя (4.31) и (4.31′) в уравнение (4.30), мы убеждаемся, что функция – $\varepsilon \varphi\left(\bar{x}_{1}\right)$ удовлетворяет этому уравнению. Так как, кроме того, функция $z(t)$ удовлетворяет начальному условию (4.27), то мы заключаем, что (4.31) – это и есть искомое решение уравнения (4.30).

Подставляя теперь (4.31) во второе из уравнений (4.26), мы убеждаемся в тождественности величин $\bar{x}$ и $\bar{x}^{*}$. Мы показали, что выбор функции $\varphi_{1}$ не влияет на точность расчета величины $x$, если использовать второе приближение, т. е. $x=x^{*}+$ $+O\left(\varepsilon^{2}\right)$. Аналогично доказывается и общий факт: выбор функций $\varphi_{i}$ и $\psi_{i}$ не влияет на точность определения вектора $x$ и скаляра $y$, если они определяются $i+1$ приближением,

Итак, выбор функций $\varphi_{i}$ и $\psi_{i}$ совершенно произволен. Следовательно, вопрос о выборе этих функций чисто методический. Их следует выбирать, исходя из удобства и целей исследования. Ранее мы уже указали некоторые из способов выбора этих функций.