Предположим, что мы рассматриваем одно уравнение второго порядка вида
\[
\ddot{x}+\varphi(t) x=F(t),
\]

где $\varphi(t), F(t)$ — периодические функции периода $2 \pi$ и $x_{1}(t)$, $x_{2}(t)$ — фундаментальная система решений однородного уравнения
\[
\ddot{x}+\varphi(t) x=0 .
\]

Решение системы (2.13) будем снова искать методом вариации произвольных постоянных. Для этого положим
\[
x=A x_{1}+B x_{2}, \quad \dot{x}=A \dot{x}_{1}+B \dot{x}_{2} .
\]

Дифференцируя первое из условий (2.15) и приравнивая второму, получаем условие совместности формул (2.15)
\[
\dot{A} x_{1}+\dot{B} x_{2}=0 .
\]

Подставляя второе из условий в (2.13) и учитывая (2.14), получаем
\[
A \dot{x}_{1}+\dot{B} \dot{x}_{2}=F(t) .
\]

Заметим, что в данном случае определитель
\[
\Delta=\left|\begin{array}{cc}
x_{1} & x_{2} \\
\dot{x}_{1} & \dot{x}_{2}
\end{array}\right|
\]

есть величина постоянная, что является следствием известной теоремы Лиувилля и того факта, что уравнение (2.13) не содержит первой производной. Из системы уравнений (2.16), (2.17) находим
\[
A=-\frac{1}{\Delta} \int_{0}^{t} F x_{2} d t+C_{1}, \quad B=\frac{1}{\Delta} \int_{0}^{t} F x_{1} d t+C_{2} .
\]

Таким образом, в окончательной форме решение системы запишем так:
\[
x=\frac{1}{\Delta}\left\{-x_{1} \int_{0}^{t} F x_{2} d t+x_{2} \int_{0}^{t} F x_{1} d t+C_{1} x_{1}+C_{2} x_{2}\right\} .
\]

Так как, согласно второй из формул (2.15),
\[
\dot{x}=\dot{x}_{1}\left\{-\frac{1}{\Delta} \int_{0}^{t} F x_{2} d t+C_{1}\right\}+\dot{x}_{2}\left\{\frac{1}{\Delta} \int_{0}^{t} F x_{1} d t+C_{2}\right\},
\]

то необходимые и достаточные условия периодичности
\[
x(2 \pi)=x(0), \quad \dot{x}(2 \pi)=\dot{x}(0)
\]

могут быть записаны в следующем виде:
\[
\left.\begin{array}{l}
x_{1}(2 \pi)\left\{-\frac{1}{\Delta} \int_{0}^{2 \pi} F x_{2} d t+C_{1}\right\}+x_{2}(2 \pi)\left\{\frac{1}{\Delta} \int_{0}^{2 \pi} F x_{1} d t+C_{2}\right\}=x_{0}, \\
\dot{x}_{1}(2 \pi)\left\{-\frac{1}{\Delta} \int_{0}^{2 \pi} F x_{2} d t+C_{1}\right\}+\dot{x}_{2}(2 \pi)\left\{\frac{1}{\Delta} \int_{0}^{2 \pi} F x_{1} d t+C_{2}\right\}=\dot{x}_{0} .
\end{array}\right\}
\]

Для определения постоянных $C_{1}$ и $C_{2}$ имеем следующие условия:
\[
\left.\begin{array}{l}
x_{1}(0) C_{1}+x_{2}(0) C_{2}=x_{0}, \\
\dot{x}_{1}(0) C_{1}+\dot{x}_{2}(0) C_{2}=\dot{x}_{0} .
\end{array}\right\}
\]

Условия, которые надо наложить на функцию $F$ для того, чтобы решения уравнения (2.13) были периодическими функциями времени, существенно зависят от того, являются или нет фундаментальные решения $x_{1}$ и $x_{2}$ периодическими функциями. Если $x_{1}$ и $x_{2}$ — периодические функции, то, согласно (2.20),
\[
\begin{array}{l}
x_{1}(2 \pi) C_{1}+x_{2}(2 \pi) C_{2}=x_{0}, \\
\dot{x}_{1}(2 \pi) C_{1}+\dot{x}_{2}(2 \pi) C_{2}=\dot{x}_{0}
\end{array}
\]

и уравнения (2.19) принимают вид
\[
\left.\begin{array}{l}
-x_{1}(2 \pi) \int_{0}^{2 \pi} F x_{2} d t+x_{2}(2 \pi) \int_{0}^{2 \pi} F x_{1} d t=0, \\
-\dot{x}_{1}(2 \pi) \int_{0}^{2 \pi} F x_{2} d t+\dot{x}_{2}(2 \pi) \int_{0}^{2 \pi} F x_{1} d t=0 .
\end{array}\right\}
\]

Система (2.21) может рассматриваться как система однородных уравнений относительно двух неизвестных
\[
-\int_{0}^{2 \pi} F x_{2} d t \text { и } \int_{0}^{2 \pi} F x_{1} d t .
\]

Ее определитель — это детерминант Вронского функций $x_{1}$ и $x_{2}$, отличный от нуля. Следовательно, система (2.21) имеет только нулевые решения. Итак, если фундаментальные решения уравнения (2.14) — периодические функции, то для существования периодических решений уравнения (2.13) необходимо и достаточно, чтобы функция $F$ удовлетворяла следующим соотношениям:
\[
\int_{0}^{2 \pi} F x_{1} d t=0, \quad \int_{0}^{2 \pi} F x_{2} d t=0,
\]
т.е. чтобы функция, стоящая в правой части уравнения была ортогональна частным решениям системы (2.14).