Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Қласс систем Ляпунова значительно шире класса консервативных систем, и в прикладных задачах подобные системы встречаются довольно часто. Рассмотрим уравнение, которое встречается в теории волн, возникающих на поверхности тяжелой вязкой жидкости, стекающей по наклонному лотку,
\[
\ddot{x}-\beta x \dot{x}+\lambda^{2} x=0 .
\]
Точка $x=\dot{x}=0$ является положением равновесия. Убедимся, что уравнение (3.34) относится к числу систем Ляпунова. Для этого нам надо проверить два условия: первое – корни характеристического уравнения линеаризованной системы должны быть чисто мнимыми; второе – система (3.34) должна иметь первый интеграл, аналитический в окрегтности положения равновесия.
Первое из этих условий очевидно. Для выяснения второго обозначим
\[
\dot{x}=y
\]
и перепишем уравнение (3.34) в следующем виде:
\[
y \frac{d y}{d x}=\left(\beta y-\lambda^{2}\right) x .
\]
В этом уравнении переменные разделяются, и после интегрирования мы получаем
\[
\left.\begin{array}{ll}
\frac{2 y}{\beta}+\frac{2 \lambda^{2}}{\beta^{2}} \ln \left(\beta y-\lambda^{2}\right)=x^{2}+C_{1}, & y>\frac{\lambda^{2}}{\beta}, \\
\frac{2 y}{\beta}+\frac{2 \lambda^{2}}{\beta^{2}} \ln \left(\lambda^{2}-\beta y\right)=x^{2}+C_{2}, & y<\frac{\lambda^{2}}{\beta} .
\end{array}\right\}
\]
Выражения (3.36) показывают, что первый интеграл, который допускает уравнение (3.34), будет аналитическим в окрестности точки $x=y=0$. Итак, уравнение (3.34), согласно теореме Ляпунова, имеет в окрестности положения равновесия периодические решения. В этом можно убедиться также и анализируя фазовую плоскость. Обозначая
\[
U(y)=\left\{\begin{array}{r}
\frac{2 y}{\beta}+\frac{2 \lambda^{2}}{\beta^{2}} \ln \left(\beta y-\lambda^{2}\right) \\
\text { для } y>\frac{\lambda^{2}}{\beta}, \\
\frac{2 y}{\beta}+\frac{2 \lambda^{2}}{\beta^{2}} \ln \left(\lambda^{2}-\beta y\right) \\
\text { для } y<\frac{\lambda^{2}}{\beta},
\end{array}\right.
\]
мы можем записать первый интеграл в виде
\[
x= \pm \sqrt{U(y)-C} .
\]
Выражение (3.37) нам позволяет построить обычными способами фазовую плоскость уравнения (3.34). Рис. 13 показывает, что полуплоскость $y<\frac{\lambda^{2}}{\beta}$ запол-
нена замкнутыми траекториями,
Рис. 13. которые расположены несимметрично относительно оси $O x$. Для нахождения этих решений может быть использован метод Ляпунова. Вычисления проведем, следуя той же схеме, которую мы использовали при построении решений уравнений Дюффинга.
