Мы изучали системы дифференциальных уравнений второго порядка
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{y}_{1}+a_{11} y_{1}+a_{12} y_{2}=0 \\
\dot{y}_{2}+a_{21} y_{1}+a_{22} y_{2}=0,
\end{array}\right\}
\]

у которых коэффициенты $a_{i j}$ имели следующие представления:
\[
a_{i j}(t, \lambda)=\lambda^{p} a_{i j}^{(p)}(t)+\lambda^{p-1} a_{i j}^{(p-1)}(t)+\ldots+a_{i j}^{(0)}(t)+\ldots
\]

Развитый метод существенным образом опирался на предположение, что при изменении $t$ в рассматриваемом интервале времени оба корня характеристического уравнения
\[
\left|\begin{array}{cc}
a_{11}^{(p)}+\mu & a_{12}^{(p)} \\
a_{21}^{(p)} & a_{22}^{(p)}+\mu
\end{array}\right|=0
\]

были различны и не обращались в нуль.
Существование кратных корней может привести к появлению внутренних резонансов; при этом наступает качественное изменение поведения решений: колеблющиеся решения начинают приобретать вековые изменения, у апериодических решений меняется характер роста и т. д.

Однако не во всех случаях кратные корни бывают источником появления внутренних резонансов. Может оказаться, что система, имеющая кратные частоты, ведет себя подобно системе с некратными частотами. Примером такой системы является сферический маятник: наличие кратных частот не приводит к появлению вековых движений.

Прежде чем переходить к изложению некоторых результатов этой теории, напомним ряд фактов из линейной алгебры.

Пусть мы имеем некоторое линейное невырожденное преобразование
\[
y=A x
\]

где $x$ и $y$ — векторы $n$-мерного евклидова пространства $R_{n}$. Обозначим через $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{k}$ корни характеристического уравнения
\[
|A-\lambda E|=0,
\]

где $E$ — единичная матрица. Матрицу $\|A-\lambda E\|$ будем называть характеристической.

В курсах линейной алгебры*) доказывается, что в пространстве $R_{n}$ всегда можно выбрать систему координат таким образом, чтобы матрица линейного преобразования $A$ имела в этой системе корплинат спепиюшийвлй

Другими словами, существует такое невырожденное линейное преобразование $C$, что матрица $C(A-\lambda E) C^{-1}$ имеет вид
*) См., например, И. М. Гельфанд, Лекции по линейной алгебре. Москва, 1948.

Здесь $s_{1}+s_{2}+\ldots+s_{k}=n$. Среди величин $\lambda_{r}$ могут быть равные. Матрицы такого вида мы будем называть жордановым ящиком или жордановой клеткой. Изображенная форма матрицы $A$ называется нормальной жордановой формой. Представление матрицы $A$ в нормальной жордановой форме единственно.

Обозначим через $D_{k}(\lambda)$ общий наибольший делитель миноров матрицы $\|A-\lambda E\|$ порядка $k$. Пусть теперь матрица $A$ имеет $p$ ящиков порядка $n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{p_{1}}$, соответствующих собственному значению $\lambda_{1}$ (причем $n_{1} \geqslant n_{2} \geqslant \ldots \geqslant n_{p}$ ), $q$ ящиков порядка $m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{q}\left(m_{1} \geqslant m_{2} \geqslant \ldots \geqslant m_{q}\right)$, соответствующих собственному значению $\lambda_{2}$ и т. д. Тогда жорданова форма матрицы $A$ такая:
Полиномы $D_{k}(\lambda)$ имеют в этом случае следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
D_{n}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{p_{1}}}\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)^{m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{p_{2}} F_{n}}(\lambda), \\
D_{n-1}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{n_{2}+\cdots+n_{p}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{m_{2}+\cdots+m_{p_{2}}} F_{n-1}(\lambda), \\
\end{array}
\]

где $F_{k}(\lambda)$ — некоторые полиномы от $\lambda$, не делящиеся на $\lambda-\lambda_{1}$ и на $\lambda-\lambda_{2}$.

Доказательство этого факта читатель может найти, например, в указанной выше книге Гельфанда (для его доказательства используется метод индукции).

Большую роль играют многочлены $E_{k}(\lambda)$, определяемые при помощи равенства
\[
E_{k}(\lambda)=\frac{D_{k}(\lambda)}{D_{k-1}(\lambda)} .
\]
$E_{k}(\lambda)$ называются инвариантными множителями матрицы $A-\lambda E$. В ситуации, которая только что была рассмотрена, инвариантные множители имеют вид
\[
\begin{array}{c}
E_{n}=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{n_{1}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{m_{2}} \ldots, \\
E_{n-1}=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{n_{2}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{m_{2}} \ldots, \\
\text {. . . . . . . . . . . }
\end{array}
\]

Последовательность инвариантных множителей полностью определяет жорданову нормальную форму матрицы $A$, а размеры ящиков, соответствующих собственному значению $\lambda_{1}$, равны $n_{1}, n_{2}, \ldots$ Аналогично размеры ящиков, соответствующих собственному значению $\lambda_{2}$, равны $m_{1}, m_{2}, \ldots$ и т. д. Выражения $\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{n_{i}},\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{m_{i}}, \ldots$ и т. д. называются элементарными делителями инвариантного множителя $E_{i}(\lambda)$.

Рассмотрим один пример, который нам потребуется при изложении одного из последующих разделов этой главы.
Пусть жорданова форма матрицы $A$ имеет вид

Тогда легко убедиться, что $D_{n}=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{n}, D_{n-1}=1$ и, следовательно, $E_{n}=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{n}, E_{s}=1 \quad(s \leqslant n)$.

Из сказанного выше мы получаем следующее важное следствие.

Для того чтобы матрицу можно было привести к диагональному виду, необходимо и достаточно, чтобы инвариантные множители этой матрицы имели простые корни. В этом случае элементарные делители всех инваэиантных множителей матрицы будут простыми, т. е. будут иметь вид
\[
\left(\lambda_{1}-\lambda_{1}\right), \quad\left(\lambda-\lambda_{2}\right), \ldots,
\]

После этих замечаний справочного характера вернемся снова к изучаемому предмету.

Вопрос о том, как ведет себя система при наличии кратных корней, зависит от того, являются ли элементарные делители матрицы $\left\|a_{i j}^{(p)}\right\|$ кратными или простыми, т. е. от того, какой вид имеет жорданова форма этой матрицы.

Если элементарные делители простые и имеется кратный корень $\gamma_{1}=\gamma_{2}$, то матрица $\left\|a_{i j}^{(p)}\right\|$ имеет вид
\[
\left\|a_{i j}^{(p)}\right\|=\left\|\begin{array}{cc}
\gamma_{1} & 0 \\
0 & \gamma_{2}
\end{array}\right\|
\]

где $\gamma_{i}$ — корни характеристического уравнения (3.2).
Если кратность элементарного делителя равна двум, то жорданова форма имеет вид
\[
\left\|a_{i j}^{(p)}\right\|=\left\lvert\, \begin{array}{ll}
\gamma & 1 \\
0 & \gamma
\end{array}\right. \| .
\]

Хотя в обоих случаях, когда $\gamma_{1}=\gamma_{2}=\gamma$, корень характеристического уравнения имеет кратность, равную двум, поведение решений системы (3.1) и асимптотика при $\lambda \rightarrow \infty$ будут различными.

Общее исследование систем в том случае, когда характеристическое уравнение может иметь кратные корни, представляется не только громоздким, но и трудным. Поскольку коэффициенты характеристического уравнения зависят от времени, здесь могут возникать разнообразные ситуации. В этом параграфе мы рассмотрим только самые простые случаи, относящиеся к тому же к системам второго порядка. Некоторые вопросы, относящиеся к общему случаю, будут рассмотрены в конце главы.