Система уравнений (1.8) позволяет найти возможные стационарные (автоколебательные) режимы, т. е. режимы, при которых амплитуда остается неизменной. Полагая $\dot{x}=0$, находим, что стационарная амплитуда должна быть корнем трансцендентного уравнения
\[
\int_{0}^{2 \pi} \varphi(x \cos y,-\omega x \sin y) \sin y d y=0 .
\]
Заметим, что уравнение (1.10) совпадает с тем уравнением, которое мы получили бы, если бы рассматривали уравнение (1.1) как квазилинейное и разыскивали периодические решения методом Пуанкаре.
Второе из уравнений (1.8) позволяет найти зависимость угловой скорости $\dot{y}$ от амплитуды $x$
\[
\dot{y}=\omega-\frac{\varepsilon}{2 \pi \omega x} \int_{0}^{2 \pi} \varphi(x \cos y) \cos y d y .
\]
Рассмотрим в качестве примера уравнение Дюффинга
\[
\ddot{z}+\omega^{2} z=\varepsilon \alpha z^{3} \text {. }
\]
В этом случае $\varphi(z)=\alpha z^{3}$, и уравнение (1.11) нам дает
\[
\dot{y}=\omega-\frac{\varepsilon \alpha}{2 \pi \omega x} \int_{0}^{2 \pi} x^{3} \cos ^{4} y d y=\omega-\frac{3 \varepsilon \alpha x^{2}}{8 \omega},
\]
откуда
\[
x=\sqrt{\gamma(\omega-\dot{y})},
\]
где
\[
\gamma=\frac{8 \omega}{3 \varepsilon \alpha_{1}} .
\]
Кривые, дающие зависимость амплитуды от частоты, называются амплитудными кривыми. Они имеют вид, изображенный на рис. 19.
Характер кривой зависит от знака $\gamma$ (т. е. знака $\alpha$ ). В случае $\alpha<0$ система называется жесткой. В противном случае система называется мягкой. Эти названия связаны с тем, что уравнение (1.12) мы можем интерпретировать как уравнение, описывающее колебание пружинного маятнкка
\[
\ddot{z}+F(z)=0,
\]
где возвращающая сила пружины $F(z)$ такова:
\[
F(z)=\omega^{2} z-\varepsilon \alpha z^{3} .
\]
Трансцендентное уравнение (1.10) Рис. 19. может совсем не иметь действительных решений. Это будет означать, что в системе стационарные колебания невозможны. Уравнение (1.10) может иметь одно или несколько решений, в некоторых случаях оно удовлетворяется тождественно. Так, например, обстоит дело, когда система консервативна. В самом деле, в этом случае функция $\varphi$ зависит только от переменной $z$, поэтому уравнение (1.10) примет вид
\[
\int_{0}^{2 \pi} \varphi(x \cos y) \sin y d y=0 .
\]
Так как $\sin y d y=-d \cos y$, то под знаком интеграла стоит полный дифференциал
\[
\int_{0}^{2 \pi} \varphi(x \cos y) \sin y d y=-\frac{1}{x} \int_{0}^{2 \pi} \varphi(x \cos y) d(x \cos y) .
\]
Обозначим через $F(\xi)$ – неопределенный интеграл
\[
F(\xi)=\int_{0}^{\xi} \varphi(\eta) d \eta
\]
Тогда
\[
\int_{0}^{2 \pi} \varphi(x \cos y) \sin y d y=-\frac{1}{x} \int_{0}^{2 \pi} d F=-\left.\frac{1}{x} F(x \cos y)\right|_{0} ^{2 \pi}=0,
\]
т. е. уравнение (1.15) удовлетворяется тождественно по $x$.
Итак, теория Ван-дер-Поля позволяет отыскивать приближенные значения амплитуд стационарных решений и, в частности, решить задачу об автоколебаниях, причем значение амплитуды, найденное согласно этой теории, будет таким же, как и значение амплитуды первого приближения в теории Ляпунова – Пуанкаре, (если, разумеется, метод Пуанкаре в этом случае применим). Если $\alpha<0$, то с увеличением смещения возвращающая сила растет (жесткость пружины возрастает). Если $\alpha>0$, то с увеличением смещения возвращающая сила уменьшается. В первом случае система называется жесткой, во втором случае – мягкой.
Те же результаты мы получили, исследуя уравнение Дюффинга методом Ляпунова – Пуанкаре и ограничиваясь первыми тремя приближениями.
