1. Рассмотрим уравнение

Заменой
\[
\ddot{x}+\lambda^{2} \mu^{2} x=2 \lambda \mu \dot{x}+\lambda a^{*} x .
\]
\[
x=x_{1}, \dot{x}=\lambda x_{2}+\lambda \mu x_{1}
\]

это уравнение сводится к системе двух уравнений первого порядка
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}_{1}=\lambda \mu x_{1}+\lambda x_{2}, \\
\dot{x}_{2}=\lambda \mu x_{2}+a x_{1},
\end{array}\right\}
\]

где
\[
a=a^{*}-\dot{\mu} .
\]

Система (8.21) относится к рассмотренному типу, если только $a^{*}=\mu$.

Согласно теории, изложенной в этом разделе, асимптотику решений системы (8.21) следует искать в виде
\[
\begin{array}{c}
x_{1}=\left(u_{10}+\lambda^{-1 / 2} u_{11}+\lambda^{-1} u_{12}+\ldots\right) \exp \int_{0}^{t}\left(\lambda \mu+\lambda^{1 / 2} \varphi_{0}\right) d t, \\
x_{2}=\left(\lambda^{-1 / 2} u_{20}+\lambda^{-1} u_{21}+\ldots\right) \exp \int_{0}^{t}\left(\lambda \mu+\lambda^{1 / 2} \varphi_{0}\right) d t,
\end{array}
\]

где $\varphi_{0}= \pm \sqrt{a}$.
Для функций $u_{10}$ и $u_{20}$ получаются выражения
\[
u_{10}=\frac{\text { const }}{\sqrt[4]{a(t)}}, \quad u_{20}=\text { const } \sqrt[4]{a(t)} .
\]

Таким образом, первые члены разложений обоих линейно независимых решений будут иметь следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
x_{11}=\frac{C_{1}}{\sqrt[4]{a(t)}} \exp \int_{0}^{t}\left(\lambda \mu(t)+\lambda^{1 / 2} \sqrt{a(t)}\right) d t, \\
x_{21}=C_{1} \sqrt{a(t)} \exp \int_{0}^{t}\left(\lambda \mu(t)+\lambda^{1 / 2} \sqrt{a(t)}\right) d t, \\
x_{12}=\frac{C_{2}}{\sqrt[4]{a(t)}} \exp \int_{0}^{t}\left(\lambda \mu(t)-\lambda^{1 / 2} \sqrt{a(t)}\right) d t, \\
r_{22}=C_{2} \sqrt{a(t)} \exp \int_{0}^{t}\left(\lambda \mu(t)-\lambda^{1 / 2} \sqrt{a(t)}\right) d t .
\end{array}\right\}
\]

Примечание. Выражения (8.22) могут оказаться неудобными, если величина $a$ отрицательная. Тогда следует перейти к действительным выражениям. Легко убедиться, что в этом случае асимптотическое представление общего интеграла системы (8.21) будет таким:
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=\frac{\exp \left\{\lambda \int_{0}^{t} \mu(t) d t\right\}}{\sqrt{a(t)}}\left\{M \cos \left\{\lambda^{1 / 2} \int_{0}^{t} \sqrt{a(t)} d t\right\}+\right. \\
\left.+N \sin \left\{\lambda^{1 / 2} \int_{0}^{t} \sqrt{a(t)} d t\right\}\right\},
\end{array}
\]

где $M$ и $N$ — произвольные постоянные.
В наших рассуждения было существенным предположение о том, что $a
eq 0$, т. е. $\mu
eq a^{*}$. Этот случай будет рассмотрен ниже.