Рассмотрим уравнение типа (5.33)

где функция
\[
\ddot{\xi}+\omega^{2} \xi=-\varepsilon \xi^{3}+\varepsilon a \cos \lambda t,
\]
\[
\varphi=-\xi^{3} \text {. }
\]

Составим уравнения относительно амплитуды и фазы
\[
\left.\begin{array}{rl}
\dot{x} & =-\frac{\varepsilon}{\omega}\left\{x^{3} \cos ^{3} y \sin y+a \cos z \sin y\right\}, \\
\dot{y} & =\omega-\frac{\varepsilon}{\omega x}\left\{x^{3} \cos ^{4} y+a \cos z \cos y\right\}, \\
\dot{z} & =\lambda .
\end{array}\right\}
\]

Рассмотрим сначала главный резонанс, положив
\[
\lambda=\omega+\varepsilon h, \quad y=z-\theta .
\]

Исключая переменную $y$ из уравнений (5.39) и проводя усреднение, получим
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=\frac{\varepsilon}{2 \pi \omega}\left\{\int_{0}^{2 \pi} x^{3} \cos ^{3} \psi \sin \psi d \psi+a \pi \sin \theta\right\}, \\
\dot{\theta}=-\frac{\varepsilon}{2 \pi \omega x}\left\{\int x^{3} \cos ^{4} \psi d \psi-a \pi \cos \theta\right\}+\varepsilon h .
\end{array}\right\}
\]

Интегралы, входящие в уравнение (5.41), легко вычисляются, и мы получаем окончательно
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=a \pi \sin \theta, \\
\dot{\theta}=-\frac{\varepsilon}{2 \pi \omega x}\left\{\frac{3}{4} x^{3}-a \pi \cos \theta\right\}+\varepsilon h .
\end{array}\right\}
\]

Для отыскания стационарных режимов положим $\dot{x}=\theta=0$. Отсюда следует, что
\[
\sin \theta=0, \quad x^{3}-\frac{8}{3} \pi \diamond h x-\frac{4}{3} a \pi \cos \theta=0 .
\]

При изучении резонансных режимов наибольший интерес представляет так называемая резонансная кривая, определяющая зависимость амплитуды от рассгройки $h$. Эта кривая характеризует поведение колебательной системы при прохождении через резонанс.

Положим в системе (5.43) $\theta=0$. Тогда искомая зависимость может быть определена из кубического уравнения
\[
x^{3}-\frac{8}{3} \pi \omega h x-\frac{4}{3} a \pi=0 .
\]

Нетрудно убедиться в том, что зависимость $x(h)$ в окрестности точки $h=0$ имеет вид,

Рис. 27. изображенный на рис. 27 . По самому смыслу усреднения амплитуды величина $x$ положительна. Поэтому нам достаточно рассмотреть только ту часть кривой $h(x)$, которая изображена на чертеже. Мы видим, что при стремлении расстройки к нулю амплитуда стремится к конечному значению
\[
\tilde{x}(0)=\sqrt[3]{\frac{4}{3} a \pi} .
\]

Случай $\theta=\pi$, который тоже удовлетворяет системе (5.45), мы рассматривать не будем, так как при малых значениях расстройки $h$ получаются отрицательные значения для амплитуды.