Мы рассмотрели способы построения асимптотических уравнений в случае главного резонанса. Последний является наиболее важным с прикладной точки зрения. Однако в теории колебаний и некоторых других областях физики и механики мы сталкиваемся с необходимостью изучения также и комбинационных резонансов. В этом случае соотношение частот $\omega$ и $\lambda$ определяется формулой (5.15). Следовательно, мы будем счита:ь, что
\[
\lambda(x)=\frac{k l}{s m} \omega(x)+\varepsilon \frac{h(x)}{m},
\]

где $k$ и $s$-целые числа положительные или отрицательные.
Изучение комбинационных резонансов можно проводить по изложенной схеме. Прежде всего сделаем замену типа (5.25)
\[
\left.\begin{array}{rl}
\theta & =\frac{s m}{k l} z-y, \\
\frac{\varepsilon h}{s m} & =\left(x-x^{*}\right)\left(\frac{s m}{k l} \lambda_{x}\left(x^{*}\right)-\omega_{x}\left(x^{*}\right)\right) .
\end{array}\right\}
\]

Уравнение (5.26) будет теперь таким:
\[
\begin{aligned}
\dot{\theta}= & \left(x-x^{*}\right)\left(\frac{s m}{k l} \lambda_{x}\left(x^{*}\right)-\omega_{x}\left(x^{*}\right)\right)+ \\
& +\varepsilon\left\{\frac{s m}{k l} Z\left(x, \frac{s m}{k l} z-\theta, z\right)-Y\left(x, \frac{s m}{k l} z-\theta, z\right)\right\}=\varepsilon \vartheta^{*}(x, z, \theta) .
\end{aligned}
\]

Таким образом, после замены (5.27) переменная $z$ будет входить в правые части (5.21) дважды: как самостоятельная переменная и по этой переменной правые части будут периодическими функциями периода $T_{i}=2 \pi / m$ и в виде комбинации $(\mathrm{sm} / \mathrm{kl}) z-\theta$. Правые части системы (5.21) будут периодическими функциями переменной ( $\mathrm{sm} / \mathrm{kl}) \boldsymbol{z}$ периода $T_{z}=2 \pi / l$. Следовательно, по переменной $z$, которая входит в эту комбинацию, функции будут иметь период
\[
T_{z}^{*}=T_{y} \frac{|k| l}{|s| m}=\frac{2 \pi|k|}{|s| m} .
\]

Период $\widetilde{T}_{z}$ правых частей системы (5.21) по переменной $z$ будет, таким образом, равен наименьшему кратному периодов
\[
T_{z}=\frac{2 \pi}{m} \quad \text { и } \quad T_{z}^{*}=\frac{2 \pi|k|}{|s| m} .
\]

Значит, правые части системы (5.21) после замены (5.25) останутся периодическими функциями быстрой переменной $z$, но их период $\widetilde{T}_{z}$ будет теперь равен
\[
\tilde{T}_{z}=\frac{2 \pi|k|}{m},
\]

и при переходе к укороченным уравнениям усреднение следует проводить по периоду $T_{z}$.