Для того чтобы продемонстрировать некоторые особенности асимптотических представлений решений и возможность их построения в том более сложном случае, когда корни системы кратные, но элементарные делители непростые, рассмотрим пример диссипативной системы следующего вида:
\[
\ddot{y}+2\left(\lambda a_{0}+a_{1}\right) \dot{y}+\left(\lambda^{2} a_{0}^{2}+\lambda b_{1}\right) y=0 .
\]
Характеристическое уравнение этой колебательной системы
\[
\mu^{2}+2 a_{0} \mu+a_{0}^{2}=0
\]
имеет два равных корня
\[
\mu_{1,2}=-a_{0} .
\]
Легко проверить, что элементарные делители системы (3.29) непростые.
Для этого достаточно в уравнеңии (3.29) сделать замену
\[
y=x_{1}+x_{2}, \quad \dot{y}=-\lambda a_{0} x_{1}+\lambda\left(1-a_{0}\right) x_{2} .
\]
Переменные $x_{1}$ и $x_{2}$ удовлетворяют системе
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}_{1}=-\lambda a x_{1}+\lambda x_{2}+\ldots, \\
\dot{x}_{2}=-\lambda a x_{2}+\ldots
\end{array}
\]
Точками обозначены члены; порядок коборых ниже $\lambda$.
Сделаем в уравнении (3.29) замену переменного
\[
y=\exp \left\{-\lambda \int_{0}^{1} a_{0}(t) d t\right\} z(t, \lambda) .
\]
Функция (3.31) удовлетворяет уравнению
\[
\ddot{z}+2 a_{1} \dot{z}+\lambda \omega^{2} z=0,
\]
где $\omega^{2}=\dot{a}_{0}+a_{1} a_{0}-b_{1}$.
В системе (3.32) возможны две различные ситуации. Вопервых, может случиться так, что $\omega \equiv 0$. Тогда уравнение (3.32) примет вид
\[
\ddot{z}+2 a_{:} \dot{z}=0 .
\]
Общее решение уравнения (3.33) может быть выражено через две квадратуры
\[
z=A+B \int_{0}^{t} \exp \left\{-2 \int_{0}^{\xi} a_{1}(\tau) d \tau\right\} d \xi,
\]
где $A$ и $B$ – произвольные постоянные. Таким образом, асимптотическое представление общего решения уравнения (3.29) в этом случае имеет вид
\[
y=\exp \left\{-\lambda \int_{0}^{t} a_{0}(\xi) d \xi\right\} \cdot\left[A+B \int_{0}^{t} \exp \left\{-2 \int_{0}^{\xi} a_{1}(\tau) d \tau\right\} d \xi\right] .
\]
Таким образом, в этом исключительном случае, когда $\omega \equiv 0$, процедура построения асимптотических решений совпадает с той, которую мы применяли пэи отыскании решений в случае систем с простыми элементарными делителями.
Если теперь $\omega^{2}(t)$ не обращается в нуль для $t \in[0, T]$, то для построения решения может быть применен метод, изложенный в первых параграфах. Мы без труда находим, (полагая $\lambda=\lambda_{1}^{2}$ ), что оба линейно независимых решения уравнения (3.32) выражаются в форме
\[
z_{1,2}=\frac{1}{\sqrt{\omega(t)}} \exp \left\{-\int_{0}^{t}\left[a_{1}(t) \pm i \lambda^{1 / 2} \omega(t)+\ldots\right] d t\right\} .
\]
Итак, в этом случае решения уравнения (3.29) будут
\[
y_{1,2}=\frac{1}{\sqrt{\omega(t)}} \exp \left\{-\int_{0}^{t}\left[\lambda a_{0}+a_{1} \pm i \lambda^{1 / 2} \omega+\ldots\right] d t\right\} .
\]
Таким образом, асимптотические разложения в этом случае будут содержать дробные степени параметра $\lambda$. Этот факт, по-видимому, первым установил Я. Д. Тамаркин.
