Мы рассмотрели только решения $\dot{x}^{(0)}$ и $y^{(0)}$, но в начале параграфа было показано, что, помимо решений, которые при $\mu \rightarrow 0$ обращаются в тождественный нуль, в системе могут существовать решения, которые при $\mu \rightarrow 0$ переходят в нетривиальные решения порождающей системы.

Общая теория таких решений достаточно сложна. Читателя, интересующегося подробностями этой теории, можно отослать к уже неоднократно цитировавшейся книге И. Г. Малкина*). Здесь мы ограничимся обсуждением простейшей из задач этого класса.
Рассмотрим уравнение
\[
\ddot{x}+f(x)=\mu \cos t,
\]

где $f(x)$ — аналитическая функция, имеющая вид
\[
f(x)=\lambda^{2} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+\ldots
\]

Таким образом, при $\mu \rightarrow 0$ мы получаем порождающее уравнение, которое является частным случаем уравнений Ляпунова. Поставим задачу отыскания периодических решений уравнения (8.48) периода
\[
T=\frac{2 \pi}{p},
\]

где $p$ — целое число, переходящее в нетривиальное решение порождающего уравнения
\[
\ddot{x}_{0}+f\left(x_{0}\right)=0 .
\]

Все решения уравнения (8.49) в достаточно малой окрестности положения равновесия $x_{0}=\dot{x}_{0}=0$ являются периодическими. Они представимы в виде ряда
\[
x_{0}=c \varphi_{1}(\psi)+c^{2} \varphi_{2}(\psi)+\ldots \equiv x_{0}(c, \psi),
\]

где
\[
\psi=\omega(c)(t+h),
\]
$h$ — произвольная постоянная; $\varphi_{1}(\psi)=\cos \psi, \omega(c)$ — частота колебаний, служащая нормирующим множителем, который выбирается из тех условий, чтобы функции $\varphi_{i}$ были периодическими функциями переменной $\psi$. Таким образом, период $T^{*}$ по переменной $t$ определяется формулой
\[
T^{*}=\frac{2 \pi}{\omega(c)} .
\]
*) См. сноску на стр. 121.

Для $\omega(c)$, согласно теории Ляпунова, мы имеем выражение
\[
\omega(c)=\frac{\lambda}{1+h_{2} c^{2}+h_{3} c^{3}+\ldots} .
\]

Поскольку период (решения уравнения (8.48)) $T$ задан, то задан и период порождающего решения, так как
\[
T=T^{*},
\]

что позволяет, согласно (8.4), получить уравнение для определения «амплитуды» $c$ порождающего решения
\[
c+\frac{h_{3}}{2 h_{2}} c^{2}+\ldots=\sqrt{\frac{\lambda-p}{p h_{2}}} .
\]

Таким образом, для существования действительных решений необходимо, чтобы
\[
\operatorname{sign}(\lambda-p)=\operatorname{sign} h_{2} \text {. }
\]

Предположим, что это условие выполнено: ограничиваясь простейшим случаем $p=1$, зафиксируем один из действительных корней уравнения (8.4). Тогда периодическое решение уравнения (8.48) естественно искать в виде ряда
\[
x=x_{0}+\mu x_{1}+\mu^{2} x_{2}+\ldots
\]

Подставляя ряд (8.53) в уравнение (8.48), мы придем к следующим уравнениям относительно неизвестных $x_{1}, x_{2}, \ldots$ :
\[
\begin{array}{c}
\ddot{x}_{1}+\left(\frac{d f}{d x}\right)_{0} x_{1}=\cos t, \\
\ddot{x}_{2}+\left(\frac{d f}{d x}\right)_{0} x_{2}=\Phi_{2}(t)
\end{array}
\]

и т. д.
Здесь $\left(\frac{d f}{d x}\right)_{0}$ означает, что производная вычислена при $x=x_{0}$
\[
\left(\frac{d f}{d x}\right)_{0}=\lambda^{2}+2 a_{2} x_{0}+3 a_{3} x_{0}^{2}+\ldots
\]

Принимая во внимание представление (8.50), можно написать
\[
\left(\frac{d f}{d x}\right)_{0}=F(c, t+h)
\]

где $F$ — некоторая периодическая функция $t$ периода $2 \pi, c$ заданное число, а $h$ — произвольное число, которым мы можем распоряжаться.

Функция $\Phi_{2}$ определяется только функциями $x_{0}$ и $x_{1}$. Bсе последующие уравнения имеют вид
\[
\ddot{x}_{i}+\left(\frac{d f}{d x}\right)_{0}=\Phi_{i}(t)
\]

где $\Phi_{i}$ определяется функциями $x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{i-1}$. Следовательно, если эти функции определены, то все $\Phi_{i}$ могут считаться известными функциями времени.

Рассмотрим уравнение (8.54), представляющее собой уравнение с периодическими коэффициентами. Полная система фундаментальных решений однородного уравнения
\[
\ddot{x}+F(c, t+h) x=0
\]

нам известна, так как уравнение (8.56) является уравнением в вариациях для порождающего уравнения (8.49). Эти решения, как было показано (см. формулы (2.25)), можно представить в виде
\[
\left.\begin{array}{l}
\tilde{x}_{1}=\frac{\partial x_{0}(c, \psi)}{\partial \psi}=u(c, \omega(c)(t+h)), \\
\tilde{x}_{2}=\frac{1}{d \omega / d c} \frac{\partial x_{0}(c, \psi)}{\partial c}=v+t u,
\end{array}\right\}
\]

где $u$ и $v$ при данном $c$ — периодические функции времени периода $2 \pi$.

Для того чтобы уравнение (8.54) допускало периодические решения, необходимо и достаточно выполнение условий (2.29), которые для интересующего нас случая будут иметь следующий вид:
\[
\int_{0}^{2 \pi} u(c, \omega(c)(t+h)) \cos t d t=0,
\]
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{2 \pi}\{v(c, \omega(c)(t+h))+t u(c, \omega(c)(t+h))\} \cos t d t= \\
=2 \pi\left(\dot{x}_{10} u(0)-x_{10} \dot{u}(0)\right), \\
\end{array}
\]

где $x_{10}$ и $\dot{x}_{10}$ — значение искомой функции $x_{1}(t)$ и ее производной при $t=0$.

Уравнение (8.58) — это некоторое трансцендентное уравнение для определения аддитивной постоянной $h$. Оно может вовсе не иметь решений, иметь конечное или бесконечное число решений.

Пусть теперь $h$ — корень уравнения (8.58). Тогда порождающее решение $x_{0}(t)$, которое описывается формулой (8.50), становится полностью определенным.

Решение уравнения (8.54) — функцию $x_{1}$ — можно представить как
\[
x_{1}=C_{11} u(t)+C_{12}(v+t u)+y_{1}(t),
\]

где $y_{1}(t)$ — это некоторая функция, полученная методом вариации произвольных постоянных. Постоянные $C_{11}$ и $C_{12}$ выражаются линейным образом через начальные значения функции $x_{10}$ и ее производной $\dot{x}_{10}$. Но эти величины нам заранее не известны. Для их определения мы имеем только одно уравнение (8.59), поэтому на этом этапе процедуры дальнейшее уточнение решения $x_{1}(t)$ невозможно. Рассмотрим теперь уравнение (8.55).

Для того чтобы оно имело периодическое решение, необходимо и достаточно выполнение условия типа (8.58)
\[
\int_{0}^{2 \pi} \Phi_{2} u d t=0 .
\]

Так как $\Phi_{2}$ зависит от $x_{10}$ и $\dot{x}_{10}$, то выражение (8.61) можно рассматривать как уравнение для определения этих величин. Вместе с уравнением (8.59) они дают систему двух уравнений для определения двух искомых величин $x_{10}$ и $\dot{x}_{10}$ и т. д.

Мы рассмотрели схему вычислений периодического режима неавтономной системы, близкой к некоторой консервативной. При этом мы ограничились случаем одной степени свободы. Переход к более обіщй задаче — отысканию периодических режимов в системах с большим числом степеней свободы — нетривиально. Дело в том, что, рассматривая систему первого порядка, мы всегда можем построить с помощью метода Ляпу: нова фундаментальную систему решений для уравнений в вариация. Переходя к системе произвольного порядка, мы сталкиваемся со следующей трудностью: для эффективной реализации вычислительной процедуры мы должны иметь в своем распоряжении полную систему интегралов порождающей системы.