Основной вопрос, который возникает при изучении стационарных состояний – это вопрос об их устойчивости. Мы не будем здесь давать какие-либо строгие определения и остановимся только на одном простом вопросе. Предположим, что начальное состояние отличается от стационарного, т. е.
\[
x(0)=x^{*}+\delta x(0) .
\]

Тогда естественно поставить вопрос о том, как исследовать изменение вектора $x(t)$, удовлетворяющего условиям (6.5). Если вектор $\delta x(0)$ достаточно мал, то мы можем положить
\[
x=x^{*}+\delta x
\]

и составить для $\delta x$ линеаризованные уравнения, т. е. составить для системы (6.2) уравнения в вариациях.
После очевидных вычислений получим
\[
\delta \dot{x}=A \delta \dot{x},
\]

где $A$ – матрица
\[
A=\left\|q_{i j}\right\|=\left(\frac{d \bar{X}}{d x}\right)_{x=x^{*}} .
\]

Элементы этой матрицы будут постоянными величинами
\[
q_{i j}=\left(\frac{\partial \bar{X}_{i}}{\partial x_{j}}\right)_{x=x^{*}},
\]

где $X_{i}$ и $x_{j}$ – компоненты векторов $X$ и $x$ соответственно. Таким образом, поведение усредненной системы в окрестности стационарной точки может быть изучено при помощи системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

В начале этой главы мы рассмотрели задачу об устойчивости для системы с одной степенью свободы. В том случае вместо векторной системы (6.6) мы имеем одно скалярное уравнение
\[
\delta \dot{x}=q \delta x .
\]

Для асимптотической устойчивости тривиального решения уравнения (6.7) необходимо и достаточно выполнения неравенства
\[
q=\left(\frac{d \bar{X}}{d x}\right)_{x=x^{*}}<0,
\]
т. е. для исследования устойчизости нам достаточно проверить только знак производной функции $\bar{X}(x)$ в точке $x=x^{*}$.
Перейдем теперь к рассмотрению общего случая.