Итак, введем переменные Ван-дерПоля, амплитуду $x$ и фазу $y$, мы свели задачу исследования одного уравнения второго порядка к изучению системы двух уравнений первого порядка (1.7). Осуществляя эту редукцию, мы следовали классической схеме метода вариации произвольных постоянных.
В. М. Волосов предложил другой способ этой редукции, аналогичный выводу уравнений для оскулирующих элементов в небесной механике. Переменные Ван-дер-Поля связаны с величиной $z$ равенствами (1.3) и (1.4), которые можно переписать в следующем виде:
\[
x=\sqrt{z^{2}+\frac{\dot{z}^{2}}{\omega^{2}}}, \quad y=-\operatorname{arctg} \frac{\dot{z}}{\omega z} .
\]

Благодаря выбранной вариации произвольных постоянных эти соотношения справедливы в равной степени как для порождающего уравнения, так и для уравнения (1.1). В первом случае величина $z$ меняется в силу уравнений (1.2) и при этом величина $x$ остается постоянной, а $\dot{y}=\omega$. Найдем теперь закон изменения этих величин в интересующем нас случае. Продифференцируем равенство (1.3′) в силу уравнения (1.1) и рассмотрим

сначала первое из этих равенств
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=\frac{z \dot{z}}{\sqrt{z^{2}+\frac{\dot{z}^{2}}{\omega^{2}}}}+\frac{z \dot{z}}{\omega^{2} \sqrt{z^{2}+\frac{\dot{z}^{2}}{\omega^{2}}}}=\frac{z \dot{z}}{x}+\frac{\dot{z}\left(-\omega^{2} z+\varepsilon \varphi\right)}{\omega^{2} x}= \\
=\frac{\varepsilon \varphi}{\omega^{2} x} \dot{z}=-\frac{\varepsilon}{\omega} \varphi \sin y,
\end{array}
\]
T. e.
\[
\dot{x}=\frac{\varepsilon}{\omega} \varphi_{1}(x, y)
\]

Таким образом, мы получили первое из уравнений системы (1.7). Дифференцируя подобным образом второе из равенств $\left(1.3^{\prime}\right)$, мы получим второе из уравнений этой системы.

Рассуждения В. М. Волосова имеют то преимущество перед стандартными, что они исключают необходимость разрешать систему уравнений (1.5), (1.6) относительно производных $\dot{x}$ и $\dot{y}$.