Итак, предположим, что мы определили искомые функции $u_{i}, v_{i}, A_{i}$ и $B_{i}$. Теперь для построения приближенного решения мы должны поступить следующим образом: возьмем первые $n$ членов в первом из уравнений системы (4.3) и обозначим через $\bar{x}_{n}$ функцию, которая будет определена нелинейным уравнением
\[
\dot{\bar{x}}_{n}=\sum_{i=1}^{n} \varepsilon^{i} A_{i}\left(\bar{x}_{n}\right)
\]
Если мы хотим получить приближенное решение задачи Коши, то следует проинтегрировать это уравнение (например, численно). После этого функцию $\bar{y}_{n}(t)$ мы определим квадратурой
\[
\bar{y}_{n}(t)=y_{0}+\int_{0}^{t}\left\{\omega\left(\bar{x}_{n}\right)+\varepsilon B_{1}\left(\bar{x}_{n}\right)+\ldots\right\} d t .
\]
Определив функции $\bar{x}_{n}$ и $\bar{y}_{n}$, подставим их затем в ряды (4.2), в которых удержим также конечное число членов. Выражения
\[
\left.\begin{array}{l}
x(t)=\bar{x}_{n}(t)+\sum_{m=1}^{N_{1}} \varepsilon^{m} u_{m}\left(\bar{x}_{n}, \bar{y}_{n}\right), \\
y(t)=\bar{y}_{n}(t)+\sum_{m=1}^{N_{2}} \varepsilon^{m} v_{m}\left(\bar{x}_{n}, \bar{y}_{n}\right)
\end{array}\right\}
\]
мы примем в качестве приближенного решения исходной системы. Числа $N_{1}$ и $N_{2}$ должны быть также выбраны по определенным правилам, о которых речь будет идти ниже.
Формулы (4.11) при определенных условиях являются асимптотическими, т. е. функции, которые они определяют, стремятся при $\varepsilon \rightarrow 0$ к точным решениям.
Примечание. Уравнение (4.10) обычно оказывается сложным нелинейным уравнением и только в исключительных случаях может быть проинтегрировано в явном виде. В общем случае его приходится интегрировать численно. Заметим, что численное интегрирование системы (4.10) ( $\bar{x}_{n}$ – это вектор-функция) значительно проще интегрирования исходной системы (4.1). Дело даже не в том, что порядок системы (4.10) на единицу меньше порядка системы (4.1). Система уравнений (4.10) определяет медленно изменяющиеся переменные. Следовательно, ее интегрирование может быть проведено с большим шагом по аргументу и, следовательно, с малой затратой машинного времени. Заметим также, что во многих прикладных задачах оказывается достаточным вычислить величины $x_{n}(t)$; величины $y_{n}$ часто не представляют практического интереса.
Рассмотрим теперь тот частный случай, когда $x$ – скаляр, а $\omega$ – величина постоянная. Ограничимся при этом рассмотрением только первого члена ряда (4.3); тогда
причем
\[
x=\bar{x}_{1}, \quad y=\bar{y}_{1},
\]
\[
\dot{\bar{x}}_{1}=\dot{x}=\varepsilon \bar{X}, \quad \dot{\bar{y}}_{1}=\dot{y}=\omega+\varepsilon \bar{Y} .
\]
Уравнения (4.12) с точностью до обозначений совпадают с укороченными уравнениями Ван-дер-Поля (1.8). Итак, метод Вандер-Поля для того частного случая систем (4.1), когда $x$ – скаляр дает возможность вычислить первые члены разложений (4.3). Ниже будет сформулирована теорема, которая утверждает, что ряды, построенные в этом параграфе, являются при определенных условиях асимптогическими: в общем случае они расходятся, но их конечный отрезок любой длины дает приближенное решение, т. е. функция, которая им определяется, стремится к точному решению при $\varepsilon \rightarrow 0$. Поэтому установленный результат весьма важен. Он показывает, что метод Ван-дерПоля, введенный чисто эвристическим образом, является «правильным»: в тех случаях, когда алгоритм, изложенный в этом параграфе, дает приближенное решение, метод Ван-дер-Поля также дает приближенное решение.
Таким образом, метод Ван-дер-Поля позволяет построить приближенное решение, однако он не дает никаких указаний на то, каким образом можно уточнить это решение. Изложенный алгоритм позволяет, как мы увидим в следующем пункте, с любой степенью точности проводить расчет.
