Докажем теперь, что решения системы (1.8) для достаточно малых значе: ний $\mu$ – периодические функции $t$. Для этого достаточно доказать, что фазовые траектории в плоскости $(x, y)$ замкнутые и $\theta$ сохранят знак.
Введем полярные координаты
\[
x=\rho \cos \theta ; \quad y=\rho \sin \theta
\]
и заметим, что любая замкнутая траектория $\rho(\theta)$ должна быть периодической функцией аргумента $\theta$. Составим выражение для $H$ :
\[
H \equiv \rho^{2}\left(1+\frac{1}{\rho^{2}} W(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta)\right)=\mu^{2} .
\]
Здесь $W$ – аналитическая функция $\rho$, разложение которой имеет вид
\[
\begin{array}{l}
W(x, y)=\alpha_{30} x^{3}+\alpha_{21} x^{2} y+\ldots+\alpha_{n m} x^{n} y^{m}+\ldots= \\
=\rho^{3}\left(\alpha_{30} \cos ^{3} \theta+\alpha_{21} \cos ^{2} \theta \sin \theta+\alpha_{12} \cos \theta \sin ^{2} \theta+\alpha_{03} \sin ^{3} \theta\right)+\ldots \\
\ldots+\rho^{n+m}\left(\alpha_{n+m, 0} \cos ^{n+m} \theta+\ldots+\alpha_{0, n+m} \sin ^{n+m} \theta\right)+\ldots
\end{array}
\]
Следовательно, в формуле (1.10) функция $\frac{1}{\rho^{2}} W(\rho, \theta)$ может быть представлена в виде ряда
\[
\frac{1}{\rho^{2}} W(\rho, \theta)=\rho a_{1}(\theta)+\rho^{2} a_{2}(\theta)+\ldots,
\]
причем все коэффициенты $a_{i}(\theta)$ – полиномы от $\sin \theta$ и $\cos \theta$, т.е. периодические функции $\theta$. Таким образом, выражение (1.10) можно переписать так:
\[
\rho\left(1+\rho a_{1}(\theta)+\ldots\right)^{1 / 2}=\mu .
\]
Это равенство мы можем рассматривать как уравнение для определения $\rho(\theta)$. Используя аналитичность функций, которые в него входят, будем функцию $\rho$ разыскивать в виде ряда
\[
\rho=\mu+b_{2}(\theta) \mu^{2}+b_{3}(\theta) \mu^{3}+\ldots
\]
Прямым вычислением убеждаемся в том, что коэффициенты в разложении (1.11) являются полиномами от $\sin \theta$ и $\cos \theta$. Так, например,
\[
b_{2}=-\frac{1}{2} a_{1}, \quad b_{3}=a_{1}^{2}-\frac{1}{2} a_{2}, \ldots
\]
Таким образом, коэффициенты $b_{i}$ – степенные функции коэффициентов $a_{i}$, а последние в свою очередь являются полиномами от $\sin \theta$ и $\cos \theta$. Вследствие такой структуры коэффициентов ряд (1.11) определяет периодическую функцию $\theta$ периода $2 \pi$, т. е. при изменении $\theta$ на $2 \pi$ величина $\rho$ возвращается к своему исходному значению. Если при этом окажется, что $\theta$ сохраняет знак, то это и будет означать, что фазовая траектория замкнутая. Ниже мы в этом убедимся (см. формулу (1.16)).
Таким образом, решения системы (1.8) – функции $x(t)$ и $y(t)$ – будут периодическими функциями времени.
Функции $x(t)$ и $y(t)$ являются аналитическими по параметру $\mu$. В самом деле, в силу аналитичности правых частей системы (1.8) ее решения будут аналитическими функциями начальных значений
\[
x(0)=c, \quad y(0)=b .
\]
Постоянная $\mu$ также определяется этими значениями
\[
\mu^{2}=c^{2}+b^{2}+W(c, b) .
\]
Так как правые части системы (1.8) не зависят от времени, то без ограничений общности начальные условия можно принять в виде
\[
x(0)=c, \quad y(0)=0 .
\]
Отсюда видно, что решения системы (1.8) представляют собой аналитические функции $c$, а также и $\mu$, поскольку из (1.12) следует, что $\mu$ – аналитическая функция $c$ :
\[
\mu=c+\mu_{2} c^{2}+\ldots
\]
