Рассмотрим малые колебания математического маятника, масса которого изменяется со временем. Если предположить, что скорость отделения частиц бесконечно мала (или что система реактивных сил образует нулевой торсор), то уравнение движения такого маятника имеет вид
\[
\frac{d}{d t}(m(\tau) \dot{z})+m(\tau) g l z=0,
\]

где $g$ – напряженность гравитационного поля, $l$ – длина маятника. Рассчитать приближенно изменения амплитуды колебаний такого маятника можно, не интегрируя уравнения (3.21). Для этого надо вспомнить, что величнна
\[
I=\frac{m(\tau)}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \omega Q_{y}^{2} d y
\]

является адиабатическим инвариантом.
В нашем случае
\[
\omega=\sqrt{g l}, \quad Q=x \cos y, \quad Q_{y}=-x \sin y .
\]

Подставляя эти величины в выражение (3.18), мы получим уравнение для определения амплитуды
\[
\frac{m \sqrt{g l}}{2} x^{2}=\text { const }
\]

откуда
\[
x=\frac{x_{0}}{\sqrt{m(\tau)}} .
\]

Заметим, что закон изменения амплитуды (3.22) сохраняет свою силу также и для уравнения
\[
\frac{d}{d t}(m(\tau) \dot{z})+m(\tau) g l z=\varepsilon \varphi(z),
\]

где $\varphi(z)$ – произвольная функция.

В самом деле, изменение вєличины $I$ подчиняется уравнению
\[
\frac{d I}{d t}=\frac{\varepsilon}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \varphi Q_{y} d y .
\]

Следовательно, I сохраняет свое значение не только тогда, когда $\varphi=0$, но и при условии ортогональности $\varphi$ и $Q_{y}$, что в нашем случае соблюдается
\[
\int_{0}^{2 \pi} \varphi Q_{y} d y=-x \int_{0}^{2 \pi} \varphi(x \cos y) \sin y d y \equiv 0 .
\]

Итак, мы показали, как может быть использована идея Вандер-Поля об осреднении в задачах нелинейных колебаний. Она позволяет исследовать широкий круг вопросов этой теории при помощи укороченных уравнений.

Таким образом, теория Ван-дер-Поля позволяет получить только некоторые приближенные решения, причем она не содержит никаких методов, позволяющих оценить степень точности полученных решений. Точно так же в рамках теории Ван-дерПоля мы не можем уточнить полученные решения. Наконец, еще одним существенным недостатком изложенного подхода является то, что он приспособлен для исследования только одномерных задач и не допускает непосредственного обобщения на многомерные задачи в системєх с числом степеней свободы больше чем одна.

Для преодоления всех указанных трудностей необходима более общая теория, содержащая новый взгляд на проблему усреднения. Она впервые возникает в работах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, опубликованных в тридцатых годах. К ее изложению мы сейчас и переходим.